Направления повышения доходности инвестиционного портфеля

 

Глава 3. Использование модели Марковица минимизации риска при формировании портфеля ценных бумаг на примере эмитентов, входящих в индекс ММВБ10

3.1. Формирование  портфеля без учета систематического  риска

В качестве примера для формирования инвестиционного портфеля акций целесообразно использовать наиболее ликвидные акции российских эмитентов, например, входящие в индекс ММВБ10.

Таблица 3.1.

Характеристики ценных бумаг из индекса ММВБ10 на 25 мая 2012 года

Тикер	Ценная бумага	Объем эмиссии	Количество цб, используемое для расчета	Вес бумаги, %
GAZP	Газпром ао	23673512900	23673512900	9,05
SBERP	Сбербанк -п	1000000000	1000000000	8,72
VTBR	ВТБ ао	10460541337338	10460541337338	9,27
GMKN	ГМК Норникель	190627747	190627747	10,15
CHMF	Северсталь ао	1007701355	1007701355	10,51
SNGS	Сургутнефнегаз	35725994705	35725994705	10,11
LKOH	Лукойл	850563255	850563255	10,55
SBER	Сбербанк	21586948000	21586948000	9,66
ROSN	Роснефть	10598177817	10598177817	10,50
URKA	Уралкалий ао	3094637905	3094637905	11,49

Индекс ММВБ 10 (публикуется с 19 марта 2001 г., начальное значение индекса, рассчитанное на — 18:00 по московскому времени 30 декабря 1997 года составляет 100 пунктов) представляет собой ценовой, не взвешенный индекс, рассчитываемый как среднее арифметическое изменения цен 10 наиболее ликвидных акций, допущенных к обращению в ЗАО «ФБ ММВБ» (вне зависимости от их принадлежности к котировальным спискам ЗАО «ФБ ММВБ»). Индекс отражает в режиме реального времени (с 10:30 до 19:00) прирост стоимости портфеля, состоящего из 10 акций, веса которых в составе портфеля в начальный момент времени одинаковы. Данный индикатор ориентирован в первую очередь на day-трейдеров, и позволяет отслеживать малейшие колебания цен основных финансовых инструментов. Индекс ММВБ 10 является первым биржевым индексом в России, методика которого не предусматривает временного усреднения цен, а пересчет значений индекса производится после каждой сделки, заключенной с любой из 10 выбранных акций в основном режиме торгов. Состав корзины индекса определяется один раз в квартал на основании 4 показателей ликвидности.

Таким образом, индекс включает наиболее ликвидные акции, которые и используем для формирования портфеля.

Для анализа используем временной  диапазон с 19.11.2007 года до 27.02.2012 года. Таким  образов, в исследуемый диапазон попадает кризисный для российского  и мирового фондовых рынков период 2008-2009 гг., когда отмечался максимальный риск с момента 1998 года.

По акциям, входящим в индекс ММВБ10 (из Таблицы 3.1) рассчитываются недельные  доходности, при этом берутся в  расчет цены закрытия в конце недели.

За исследуемый период средние  доходности и стандартные отклонения (значения риска) рассчитаны по каждой бумаге и в целом по индексу ММВБ10 и отображены в Таблице 3.2.

Таблица 3.2.

Средние доходности и риск по акциям, входящим в индекс ММВБ10 за 19.11.2007 до 27.02.2012.

Бумага (индекс)	Средняя доходность	Среднее квадратическое отклонение
ММВБ10	0,3%	6,5%
ВТБ	0,1%	8,1%
ГМКНорникель	0,4%	9,9%
СБЕРп	0,4%	9,1%
Сургутнефтегаз	0,3%	6,9%
Северсталь	0,4%	10,0%
Сбер	0,4%	8,7%
Лукойл	0,2%	6,9%
Роснефть	0,3%	7,5%
Уралкалий	0,9%	10,6%
Газпром	0,1%	7,6%

Низкие доходности и большие  риски связаны с тем, что тренд  за рассматриваемый период неоднократно менялся, значительные спады сменялись столь же значительными подъемами рынка, при этом общее суммарное изменение за весь период оказалось незначительным, что аккумулировано в небольшой величине средней доходности, а ввиду сильных колебаний значения риска оказались крайне высокими.

Для выбора оптимального портфеля целесообразно  использование модели Марковица. По модели Марковица доходность портфеля ценных бумаг - это средневзвешенная доходность бумаг, его составляющих, и она определяется формулой:

                   

где N — количество ценных бумаг  в портфеле;

 — процентная доля данной бумаги в  портфеле;

 — доходность данной бумаги.

Риск портфеля ценных бумаг определяется средним квадратическим отклонением доходности портфеля:

,          

где ,  — процентные доли данных бумаг в портфеле;

,  — риск данных бумаг (среднеквадратическое отклонение);

 —коэффициент линейной корреляции.

С использованием модели Марковица  для расчета характеристик портфеля прямая задача приобретает вид:

                

Обратная задача представляется аналогичным  образом:

               

При практическом применении модели Марковица для оптимизации фондового портфеля используются следующие формулы:

доходность ценной бумаги:

  ,          

где Т – количество прошлых наблюдений доходности данной ценной бумаги.

риск ценной бумаги (в виде оценки среднего квадратического отклонения):

                 

Статистическая оценка коэффициента корреляции между показателями доходности двух ценными бумагами:

,               

где

 — доходность ценных бумаг a и b в период t.

Ясно, что для N рассматриваемых  ценных бумаг необходимо рассчитать

 коэффициентов корреляции.

Применяя модель Марковица –  максимизируя суммарный доход и  задавая лимит для риска, - получаем оптимальные портфели. Например, при максимальном риске в 6,5% оптимальный портфель будет включать в себя 15,3% Сбербанка привилегированных, 43,1% Сургутнефтегаза, 22,4% Лукойла, 19,1% Уралкалия, остальные бумаги в портфель не входят. Ожидаемый доход по такому портфелю составит 0,39%, что больше чем по индексу ММВБ10 при таком же риске. Таким образом, сформированный по модели Марковица портфель из тех же бумаг, что и индекс, может быть оптимальнее самого индекса.

Задавая различные значения лимита риска, получаем несколько соответствующих им максимальных доходности, на основании которых можно построить кривую доходности – риска.

Таблица 3.3.

Оптимальные соотношения доход-риск по заданному портфелю

Риск	Доход	Отношение доход/риск
6,50%	0,39%	0,060012
7,50%	0,59%	0,078498
8,50%	0,71%	0,083593
9,50%	0,80%	0,084647
10,50%	0,87%	0,083213
10,60%	0,88%	0,083018

Минимальный риск по портфелю при  любой доходности ограничен минимальной величиной рисков входящих в портфель ценных бумаг, это величина риска в 6,5%. Максимальный доход ограничен максимальным доходом входящей в портфель ценной бумаги.

Максимальное соотношение доход/риск, равное 0,0846 отмечается при риске 9,5% и доходе 0,8%.

В целом формирование портфеля сопряжено  с низкой доходностью при большом  риске. Вариация в рисках по отдельным  акциям невысока, а доходность невелика.

Рис.3.1. Оптимальная граница доход-риск.

3.2. Формирование  портфеля с учетом систематического  риска

В предыдущем параграфе при формировании портфеля не учитывался тот факт, что  бумаги, входящие в портфель могут совершать однонаправленные изменения, связанные с макроэкономическими факторами и одновременно влияюшие также на все бумаги, обращающиеся на фондовом рынке.

Взаимозависимость доходностей ценных бумаг можно измерить, исчислив коэффициенты корреляции доходностей (Таблица 3.4).

Между всеми акциями взаимосвязь  по доходностям тесная или очень  тесная, притом прямая, обратной взаимосвязи или ее отсутствия нет ни у одной пары акций.

Для выявления тесноты множественной  связи рассчитывается множественный коэффициент корреляции, он равен 0,826, что свидетельствует о тесной множественной связи.

Чтобы отобрать те ценные бумаги, которые  будут ребалансировать портфель в сторону снижения множественной корреляции, рассчитываем коэффициенты корреляции каждой их цен акций и величиной индекса ММВБ10.

 

 

Таблица 3.4.

Коэффициенты корреляции доходностей  акций индекса ММВБ10

	ВТБ	ГМК	СБЕРп	Сургутнефтегаз	Северсталь	Сбер	Лукойл	Роснефть	Уралкалий	Газпром
ВТБ	1
ГМК	0,726	1
СБЕРп	0,751	0,730	1
Сургутнефтегаз	0,623	0,669	0,534	1
Северсталь	0,566	0,586	0,553	0,564	1
Сбер	0,755	0,755	0,898	0,548	0,536	1
Лукойл	0,626	0,663	0,644	0,637	0,631	0,670	1
Роснефть	0,721	0,765	0,690	0,746	0,688	0,693	0,797	1
Уралкалий	0,515	0,496	0,401	0,507	0,522	0,458	0,574	0,656	1
Газпром	0,697	0,752	0,736	0,678	0,705	0,727	0,840	0,855	0,639	1

Таблица 3.5.

Коэффициенты корреляции недельных  котировок акций индекса ММВБ10 и величины самого индекса ММВБ10.

Ценная бумага	Коэффициент корреляции с индексом ММВБ10
ВТБ	0,847
ГМК	0,899
СБЕРп	0,963
Сургутнефтегаз	0,857
Северсталь	0,798
Сбер	0,967
Лукойл	0,717
Роснефть	0,838
Уралкалий	0,682
Газпром	0,393

Из  данных коэффициентов корреляции необходимо отобрать статистически незначимые, для этого рассчитаем t-критерии по формуле:

 

где - значение коэффициента корреляции, – количество наблюдений (число недель, за которое наблюдалось изменение доходностей акций): n = 221.

 

Таблица 3.6.

t-значения по коэффициентам  корреляции колировок акций индекса  ММВБ10 и значениями самого индекса  ММВБ10

Ценная бумага	t-значение
ВТБ	23,546
ГМК	30,461
СБЕРп	52,820
Сургутнефтегаз	24,628
Северсталь	19,584
Сбер	56,151
Лукойл	15,237
Роснефть	22,747
Уралкалий	13,793
Газпром	6,333

Критический уровень t вычисляется как квантиль распределения Стьюдента на уровне значимости 0,05 и с числом степеней свободы n – 2 = 221 – 2 = 219: t_крит = t(0,05; 219) = 1,971. Все значения больше критического, значит, все коэффициенты корреляции являются статистически значимыми.