Управление запасами (стохастический случай)

     • по доле требований, удовлетворяемых из наличного запаса (без дополнительных задержек).

     Введение  ограничений может существенно изменить формулировку задачи управления запасами. В частности, в стохастической модели без ограничений оптимальный запас, обращая в минимум сумму затрат на поставки, хранение и штрафы, автоматически дает наиболее выгодную вероятность недостачи. Ограничение же последнего типа полностью определяет сумму штрафа, что позволяет исключить ее из функции затрат и минимизировать только расходы на поставки и хранение. Если расходы на хранение и поставки заданы, то отыскивается стратегия, максимизирующая вероятность обеспечения спроса. Такой вариант особенно часто встречается в многономенклатурных задачах.

     Иногда  в задаче управления запасами минимизируются не денежные расходы, а какой-либо другой дефицитный ресурс (вес, объем) — обычно при заданной вероятности обеспечения многономенклатурного спроса. На математической стороне вопроса такая замена по существу не отражается.

     Опыт  решения многих задач исследования операций и управления запасами в частности свидетельствует о том, что целевая функция в окрестности оптимума меняется медленно. В сочетании с неизбежной погрешностью исходных данных это оправдывает приближенный расчет оптимальных параметров системы и различные допущения, которые приходится делать для получения решения.

     В задаче с учетом случайных факторов (вариабельность спроса, задержки поставок, случайное восполнение) ожидаемые затраты всегда больше, чем в строго детерминированном случае при сопоставимых исходных данных. Это превышение следует рассматривать как вынужденную плату за работу в условиях неопределенности.

     Стратегия управления запасами, т.е структура  правил определения момента и объема заказа, в приложениях обычно считается известной, и задача сводится к определению нескольких констант (параметров стратегии). В периодических стратегиях заказ производится в каждом периоде Т, в стратегиях с критическими уровнями («оперативных», «с непрерывным контролем») — при снижении запаса до порога s или ниже. Второе различие между простейшими стратегиями определяется правилом определения объема заказа, постоянная партия объема q или партия, восполняющая наличный запас (в сумме с ранее сделанными заказами) до верхнего критического уровня S . Перечисленные правила относятся к стационарным ситуациям и могут временно корректироваться для нестационарных (например, накануне очередного предпраздничного пика в торговле)

     Необходимо  отметить, что область применения теории управления запасами отнюдь не ограничивается складскими операциями. В частности, под запасом можно подразумевать.

     •  наличие товара;

     •   рабочую силу, планируемую для  выполнения конкретного задания;

     •   размер капитала страховой компании;

     •  емкость складских помещений;

     •  объем информации в базе данных;

     •   грузоподъемность транспортных средств;

     •   производственную мощность предприятия;

     •   напор воды в водохранилище ГЭС;

     • численность персонала данной квалификации (при планировании подготовки кадров) и т.д.

     Таким образом, в первом разделе были рассмотрены  основные характеристики моделей управления запасами, факторы необходимости создания запасов, классическая модель управления запасами, входные и выходные параметры модели планирования экономичного размера партии, график затрат на управление запасами и график циклов изменения, а так же формулы модели экономичного размера партии, виды ограничений в задачах управления запасами и область применения теории управления запасами, что дает общее представление о теории управления запасами. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     _{2. СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ  УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ} 

     2.1. Обобщенная модель управления запасами 

     Рассмотрим  стохастические модели управления запасами, у которых спрос является случайным. Этот факт существенным образом сказывается на характере соответствующих моделей и значительно усложняет их анализ, в связи с чем в рамках данной книги ограничимся рассмотрением наиболее простых моделей.

     Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным и задан его закон (ряд) распределения р(r) или плотность вероятностей φ(r) (обычно функции р(r) и φ(r) оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос r ниже уровня запаса s, то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат с₂ на единицу продукта; наоборот, если спрос r выше уровня запаса s, то это приводит к штрафу за дефицит c₂ на единицу продукции.

     В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают ее среднее значение или математическое ожидание.

     В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем закон распределения р(r), математическое ожидание суммарных затрат имеет вид:

                                                                2.1 

     В выражении (2.1) первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка r - s единиц продукта (при r ≤ s), а второе слагаемое — штраф за дефицит на r - s единиц продукта (при r > s).

В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого  плотностью вероятностей φ(r), выражение C(s) принимает вид: 

           2.2 

     Задача  управления запасами состоит в отыскании  такого запаса s, при котором математическое ожидание суммарных затрат (2.1) или (2.2) принимает минимальное значение.[4,с. 58-62]

     Доказано, что при дискретном случайном спросе r выражение (2.1) минимально при запасе s₀, удовлетворяющем неравенствам: 

                                               

              2.3 

а при  непрерывном случайном спросе г  выражение (2) минимально при значении s₀, определяемом из уравнения 

                                2.4 

где

                                                                                          2.5 

есть  функция распределения спроса r, и — ее значения; р — плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая по  

                                                                                                                                2.6  
 

рис.5 Оптимальный запас при непрерывном спросе 

     Оптимальный запас s₀ при непрерывном спросе по данному значению р может быть найден и графически (рис.5).  

2. Стохастическая  модель управления запасами

 

     Любая модель управления запасами в конечном счете должна дать ответ на два вопроса:

     1. Какое количество продукции заказывать?

     2. Когда заказывать?

     Ответ на первый вопрос выражается через  размер заказа, определяющего оптимальное  количество ресурсов, которое необходимо поставлять всякий раз, когда происходит размещение заказа. В зависимости от рассматриваемой ситуации размер заказа может меняться во времени.

Ответ на второй вопрос зависит от типа системы  управления запасами. Если система  предусматривает периодический  контроль состояния запасами через  равные промежутки времени (еженедельно или ежемесячно), момент поступления нового заказа обычно совпадает с началом каждого интервала времени. Если же в системе предусмотрен непрерывный контроль состояния запаса, точка заказа обычно определяется уровнем запаса, при котором необходимо размещать новый заказ.

     Таким образом, решение обобщенной задачи управления запасами определяется следующим  образом:

1. В случае периодического контроля состояния запаса следует обеспечивать поставку нового количества ресурсов в объеме размера заказа через равные промежутки времени.
2. В случае непрерывного контроля состояния запаса необходимо размещать новый заказ в размере объема запаса, когда его уровень достигает точки заказа.

         Размер и точка  заказа обычно определяются из условий  минимизации суммарных затрат системы управления запасами, которые можно выразить в виде функции этих двух переменных.

     Суммарные затраты системы управления запасами выражаются в виде функции их основных компонент:

1. затраты на приобретение;
2. затраты на оформление заказа;
3. затраты на хранение заказа;
4. потери от дефицита.

     Затраты на приобретение становятся важным фактором, когда цена единицы продукции  зависит от размера заказа, что  обычно выражается в виде оптовых скидок в тех случаях, когда цена единицы продукции убывает с возрастанием размера заказа.

     Затраты на оформление заказа представляют собой  постоянные расходы, связанные с  его размещением. При удовлетворении спроса в течение заданного периода  времени путем размещения более  мелких заказов (более часто) затраты  возрастают по сравнению со случаем, когда спрос удовлетворяется посредством размещения более крупных заказов (и, следовательно реже).

     Затраты на хранение запаса, которые представляют собой расходы на содержание запаса на складе (затраты на переработку, амортизационные расходы, эксплуатационные расходы) обычно возрастают с увеличением уровня запаса.

     Потери  от дефицита представляют собой расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимой продукции.

Следующий рисунок иллюстрирует зависимость  четырех компонент затрат обобщенной модели управления запасами от уровня запаса.

   Оптимальный уровень запаса соответствует минимуму суммарных затрат.

Модель  управления запасами не обязательно  должна включать все четыре вида затрат, так как некоторые из них могут  быть незначительными, а иногда учет всех видов затрат чрезмерно усложняет функцию суммарных затрат. На практике какую-либо компоненту затрат можно не учитывать при условии, что она не составляет существенную часть общих затрат.

     Рассмотрим  типы моделей управления запасами. Разнообразие моделей этого класса определяется характером спроса, который может быть детерминированным (достоверно известным) или вероятностным (задаваемым плотностью вероятности).

     Детерминированный спрос может быть статическим, в  том смысле, что интенсивность  потребления остается неизменной во времени, или динамическим, когда спрос известен достоверно, но изменяется от времени.

     Вероятностный спрос может быть стационарным, когда  функция плотности вероятности  спроса неизменна во времени, и нестационарным, когда функция плотности вероятности спроса изменяется во времени.

     В реальных условиях случай детерминированного статического спроса встречается редко. Такой случай можно рассматривать  как простейший. Наиболее точно характер спроса может быть описан посредством  вероятностных нестационарных распределений. Представленную классификацию можно считать представлением различных уровней абстракции описания спроса.