Решение дробно-рациональных уравнений

Федеральное агентство по образованию РФ

 Государственное  образовательное учреждение высшего  профессионального образования

 «Воронежский  государственный педагогический  университет»

 

 

 

Кафедра информатики и методики преподавания математики

 

 КУРСОВАЯ РАБОТА НА  ТЕМУ:

Решение дробно-рациональных уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                             Выполнил:

                                                студентка  физико-математического

                                                             факультета,3 курса, 

                                                             группы математика-информатика

                                 Забалуева Елена Сергеевна

                                               

                                      Руководитель: доцент кафедры

                              информатики и методики

                                преподавания математики,

                                         Титоренко Светлана Алексеевна

                  

 

 

 

Воронеж, 2012г.

Содержание

Введение 3

Основные понятия темы 3

Теоремы о равносильных уравнениях 4

Теорема 1. 4

Теорема 2. 6

Теорема 3. 6

Теорема 4. 7

Теорема 5. 8

Методы решения дробно-рациональных уравнений 9

1. Решение дробно-рациональных уравнений с помощью алгоритма 9

2.Условие равенства дроби нулю при решении дробно-рациональных уравнения 12

3.Сведение дробно-рациональных уравнений к совокупности уравнений 12

4.Метод замены (введения новой переменной ) 14

Анализ школьных учебников  алгебры по теме дробно – рациональные уравнения 16

Заключение 28

Литература 29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

      Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения, и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач, в предметах естественнонаучного цикла. В курсе алгебры основной школы большое внимание уделяется рациональным уравнениям, и только небольшая часть этой темы отводится на изучение дробно-рациональных уравнений. Методы решений таких уравнений в общеобразовательных классах представлены недостаточно полно.  Основная цель данной курсовой работы  состоит в систематизации и углублении  знаний по методам решения дробно-рациональных уравнений. Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

• Проанализировать учебно-методическую литературу по теме исследования;
• Выявить методы решения дробно-рациональных уравнений;
• Подобрать комплексы упражнений на каждый из методов;
• Выявить достоинства и недостатки изложения теоретического и практического материала в школьных учебниках алгебры.

 Предметом данной курсовой работы являются рациональные уравнения, объектом исследования являются дробно-рациональные уравнения.

Основные понятия темы

 

Под уравнением будем понимать равенство двух выражений с одной или несколькими переменными.

Решением уравнения называется  значение  переменной,  обращающее его в истинное числовое равенство.

Число а называется  корнем(1) уравнения ,если при подстановке его вместо в уравнение получаем верное числовое равенство .

Разложить многочлен  на множители - это, значит, представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов.

 

Областью определения уравнения[1] называется множество всех таких значений переменной х при которых определены оба выражения равенства (область определения – пересечение областей определения двух  выражений).

Уравнение  вида    =0   (v), где H(x) и Q(x)-многочлены, называются  дробно-рациональными. [1]

Два уравнения называются равносильными (эквивалентными на множестве D), если они имеют одни и те же решения, которые принадлежат множеству D.

Если каждый корень уравнения f(x)=0 принадлежит множеству D, является корнем  другого уравнения g(x)=0, то второе уравнение является следствием первого уравнения на множестве D.

Системой уравнений [3] с неизвестными называется множество, содержащее уравнений:

 

где правые и левые части всех уравнений  являются функциями, которые рассматриваются  совместно в общей части их областей определения.

Решением системы называется система чисел удовлетворяющая каждому ее уравнению.

Несколько уравнений  называются совокупностью, если ставится задача об отыскании всех таких значений переменной, каждое из которых является решением хотя бы  одного из данных уравнений.

Решением совокупности является  объединением множества корней уравнений составляющих совокупность.

Теоремы о равносильных уравнениях

Процесс решения уравнения состоит в  последовательной замене данного уравнения  другим, более простым уравнением. Возникает вопрос о законности такой  замены. Всегда ли получается уравнение  с тем же множеством решений?

Ответ на этот вопрос дает теория равносильности уравнений.

Теорема 1.

Если  в уравнении c областью определения D, выполнить тождественное преобразование  выражений не изменяющей области определения данного уравнения, то  полученное уравнение будет   равносильно данному на множестве D.

  равносильное  данному на множестве D.[3]

 

 

При решении  уравнений необходимо следить за изменением множества допустимых значений неизвестного. В случае расширения его следует проверять, не является ли найденное решение посторонним  для данного уравнения. В случае сужения необходимо убедиться, не являются ли выпавшие значения неизвестных решениями данного уравнения. Задача нахождения потерянных решений не всегда легко выполнима, поэтому желательно избегать тождественных преобразований, ведущих к сужению множества допустимых значений неизвестных уравнения.

 

Пример 1: Равносильны ли уравнения в поле действительных чисел?[2]

                      и .

 Область допустимых значений первого уравнения:

.

Область допустимых значений второго уравнения - множество  всех действительных чисел:.

Произошло расширение области допустимых значений первого  уравнения, поэтому возможно появление посторонних корней.

Первое уравнение  не имеет корней, так как . Второе уравнение имеет корень: .

При расширении области допустимых значений появился посторонний корень . Уравнения не будут равносильными.

Ответ: неравносильны.

 

Пример 2: Равносильны ли уравнения в поле действительных чисел?

  (1)   и  

Область допустимых значений первого уравнения:

.

Область допустимых значений второго уравнения - множество  всех действительных

чисел:.

Область допустимых значений уравнения (1) расширилась, значит возможно

появление посторонних  корней. Проверим это.

Первое уравнение  имеет корень: x = 3.

Второе уравнение  имеет корень: x = 3.

Посторонние корни не появились - уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.

Пример 3: Равносильны ли уравнения в поле действительных чисел?[4]

  (1)    и

Область допустимых значений первого уравнения:

.; .

Область допустимых значений второго уравнения - множество  всех действительных чисел:.

Область допустимых значений уравнения (1) расширилась - возможно появление посторонних корней. Первое уравнение имеет один корень:

 . Второе уравнение имеет два корня: .

Появился  посторонний корень.

Ответ: не равносильны.

Теорема 2.

Если к  обеим частям  уравнения с областью определения D  прибавить (вычесть) одно и тоже  выражение имеющее смысл при , то полученное уравнение [3]

 равносильно  данному на множестве D.

Следствие: уравнение  и   - равносильны на множестве D.

Пример 1: (2)Дано уравнениекоторое имеет только один корень 

а) прибавим к обеим частям уравнения  функцию  ,

теряющую смысл при

Получим уравнение , не равносильное  данному, так как .

б) Прибавим к обеим частям уравнения  функцию  ,

теряющую смысл при x = 2. Получим уравнение

равносильное данному, так как оно тоже имеет только один корень x = 5.

 

 Пример 2: Равносильны ли уравнения в поле действительных чисел?

Дано уравнение x (x −1) = 0;

Областью допустимых значений неизвестного является множество всех действительных чисел .

Уравнение имеет два корня: = 0 и =1.

Прибавим к обеим частям данного  уравнения функцию ω (x) = lg x, область определения которой .

Получим уравнение , не равносильное данному, так как x = 0 не является его корнем.

Теорема 3.

Если  обе  части  уравнения  с областью определения D  умножить (разделить) одно и тоже  выражение (имеющее смысл при ; то полученное уравнение [3]

 равносильно  данному на множестве D.

 Следствие:

Если обе  части уравнения умножить (разделить)  на одно и тоже  число , то получится уравнение равносильное  данному.

Пример 1: [4] Дано уравнение , множеством допустимых значений x является множество всех действительных чисел . Уравнение имеет два корня: =1 и = −2.

а) Умножим  обе части данного уравнения  на ,

теряющую смысл приПолучим

 Получим  уравнение  , не равносильное данному,

так как оно  имеет только один корень  x = −2. Умножение обеих частей данного уравнения на привело к потере корня

б) Умножим  обе части данного уравнения  на ,  теряющую смысл при , равносильное данному, так как оно

имеет два  корня: =1 и = −2.

в) Умножим  обе части данного уравнения  на ω(x) = x − 3, обращающуюся в нуль при x = 3. Получим уравнение не равносильное данному, так как оно имеет три    корня:

 =1 =3.

Умножение обеих  частей данного уравнения на (x −3) привело к появлению

постороннего корня  =3.

Теорема 4.

Если обе части уравнения с  областью определения D,

Где возвести в одну и туже натуральную степень , то получится уравнение равносильное данному на множестве D.(3)

Замечание 1:

Если выполнится не из D  всех  из D, а для всех  из М, где М подмножество  D, то уравнения  и равносильны на множестве М.

Замечание 2:

При возведении  обеих частей уравнения   с областью определения D в  нечетную натуральную степень   всегда получается  уравнение  равносильное данному  на множестве D.

 Теорема 5.

 Уравнение c областью определения D равносильно на множестве совокупности уравнений:  на множестве D. [3]

Равносильны ли уравнения на множестве действительных чисел?

 

Пример 1: (2) 

Решение:

Функция положительна при всех x из области определения функции, если к тому же функция определена при значениях корней уравнения (1), тогда уравнения (1) и (2) равносильны. Если функция не определена при значении хотя бы одного из корней уравнения (1), тогда уравнения (1) и (2) не равносильны.

 

Пример 2:  

Решение:

Если k - нечетное число, тогда уравнения равносильны, если k - четное число, то, не равносильны, так как второе уравнение примет вид:

, т. е. распадается  на два уравнения. Только в том случае, если уравнение , по каким-то причинам не будет иметь корней, мы можем получить равносильные уравнения.

Ответ: при k нечетном - равносильны, при k четном - не равносильны.

 

Пример 3: [4] И      

 

Если тогда уравнения будут иметь одинаковые

области допустимых значений и будут равносильны.

Ответ: еслитогда уравнения равносильны.

 

Пример 4: Будут ли равносильны уравнения на множестве действительных чисел (1)

и  (2)

Решение:

 

Оно имеет  два корня:

Область допустимых значений второго уравнения находим  из решения системы неравенств:  

Область допустимых значений изменилась, поэтому возможна как потеря корней, так и появление посторонних корней.

Найдем решения  уравнения (2). Оно имеет только один корень:

Уравнения не равносильны.

Ответ: неравносильны.

 

Пример 5:[3] Равносильны ли уравнения на множестве действительных чисел?

 

Решение:

Областью  допустимых значений первого уравнения  является множество:

Оно имеет один корень .

Обе части  первого уравнения умножаются на функцию

 которая определена при всех значениях x из множества действительных чисел  и не обращается в нуль при x = 2 , которое является корнем  уравнения (1), поэтому уравнение (2) имеет один корень x = 2 . Уравнения (1) и (2) равносильны.

 

Пример 6:

Решение:

Областью  допустимых значений первого уравнения  является множество всех

действительных  чисел   . Оно имеет два корня: . К его обеим частям прибавляется функция , которая имеет область определения и теряет смысл при , который является корнем первого уравнения, а поэтому второе уравнение имеет только один корень x = 3, а значит уравнения не равносильны.

Ответ: не равносильны.

Методы решения дробно-рациональных уравнений

1. Решение дробно-рациональных  уравнений с помощью алгоритма

1. Разложить  на множители  знаменатель дробей входящих в уравнение.
2. Найти область определения данного уравнения.
3. Упростить простейший общий знаменатель дробей.
4. Привести данное уравнение к целому виду, умножив обе части на простейший общий знаменатель.
5. Решить целое уравнение.
6. Проверить принадлежность корней  целого уравнения  области определения данного уравнения.
7. Записать ответ.[1]