Системы линейных уравнений. Основные методы решения

Системы линейных уравнений. Основные методы решения.

Системой  m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ijпервый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при  неизвестных будем записывать в  виде матрицы  , которую назовёмматрицей системы.

Числа, стоящие в  правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Наша задача будет  заключаться в нахождении решений  системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.
2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например,  . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например,  , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы  нахождения решений системы. 

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ  СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность  кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений  с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу  системы   и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов 

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений  данной системы. Тогда пользуясь  определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

 или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы  отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A:  . Поскольку A^-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

Заметим, что поскольку  обратную матрицу можно найти  только для квадратных матриц, то матричным  методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A^-1B.

Примеры. Решить системы уравнений.

Найдем матрицу  обратную матрице A.

Таким образом, x = 3, y = – 1.

Итак, х₁=4,х₂=3,х₃=5.

3. Решите матричное уравнение: XA+B=C, где 

Выразим искомую  матрицу X из заданного уравнения.

Найдем матрицу А^-1.

Проверка:

4. Решите матричное  уравнение AX+B=C, где 

Из уравнения  получаем  .

Следовательно,

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя  неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице  системы, т.е. составленный из коэффициентов  при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три  определителя следующим образом: заменим  в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных  членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило  Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁ и 3-е – на A₃₁:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого  уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно  показать, что и  .

Наконец несложно заметить, что 

Таким образом, получаем равенство:  .

Следовательно,  .

Аналогично выводятся  равенства   и  , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ  ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система  либо имеет бесконечное множество  решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

Итак, х=1, у=2, z=3.

2. Решите систему уравнений при различных значениях параметра p: 

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

. Поэтому  .

1. При 
2. При p = 30 получаем систему уравнений   которая не имеет решений.
3. При p = –30 система принимает вид   и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y, yÎR.