Дифференциальные уравнения

План.

Введение.

Многочисленные задачи естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний сводятся к математическому моделированию процессов в виде формулы, т.е. в виде функциональной зависимости. Так, например, переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью дифференциальных уравнений.

Материалом для  данной работы  послужила  теория дифференциальных уравнений и наиболее известные задачи естествознания, решаемые с помощью дифференциальных уравнений.

Целью  настоящей   работы является рассмотрение возможности применения дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно – научного цикла.

Достижение предполагаемой цели связано  с  решением  частных задач:

1.      Описать теоретические основы дифференциальных уравнений;

2.      Рассмотреть некоторые приёмы решения задач с помощью дифференциальных уравнений по физике, геометрии, биологии и химии.

Работа состоит из двух основных частей:

-         теоретическая часть рассматривает основные понятия теории дифференциальных уравнений;

-         практическая часть – собственно решения задач из курса естествознания с помощью дифференциальных уравнений.

Часть I. Основы теории дифференциальных уравнений.

1.1         Общие сведения.

Уравнение называется дифференциальным, если, кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, оно содержит производные неизвестных функций (или их дифференциалы).

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если неизвестные функции зависят от одной независимой переменной.

Дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных, если оно содержит несколько независимых переменных, функции этих переменных и частные производные этих функций.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения называется система функций, подстановка которых вместо неизвестных обращает уравнение в тождество.

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений решения могут быть общими, частными и особыми.

Общими решениями  дифференциальных уравнений называются решения, содержащие столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частными решениями  дифференциальных уравнений называются решения, получающиеся из общих при частных значениях произвольных постоянных.

Особыми решениями  дифференциальных уравнений называются решения, которые вообще не содержатся в общих решениях, т.е. не получаются из них при частных значениях произвольных постоянных.

Решения дифференциальных уравнений в частных производных содержат произвольные функции.

1.2         Обыкновенные уравнения первого порядка.

1.2.1. Основные понятия

Обыкновенным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, y' ) = 0, где F — известная функция трех переменных, x — независимая переменная, y — неизвестная функция, y' — ее производная.

F(x, y, y' ) = 0 – неявный вид уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида

y' = f(x,y)

или

М(х,у) dx + N(х,у) dy = 0

называют уравнениями в нормальной форме (в явном виде).

Функция y = φ(x) при всех x из (a, b) называется решением дифференциального уравнения, если она при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Соотношение Ф(х,у,С) = 0 называется общим интегралом уравнения, если у как неявная функция – решение дифференциального уравнения.

Частный интеграл получается из общего при частном значении С.

Особый интеграл не содержится в общем интеграле.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой.

Условия

у = у0 при х = х0

в силу которых функция y = φ(x) принимает заданное значение у0 в заданной точке х0, называют начальными условиями решения.

Если дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x, y), имеет решение, то решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде y = φ(x,C), где C — произвольная константа.

Выражение φ(x,C) называют общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка если:

-          при всех допустимых значениях C функция  y = φ(x,C) является решением уравнения, y' = f(x, φ(x,C));

-          при любых начальных условиях решения существует единственное значение константы C = С0 такое, что функция y = φ(x, С0) удовлетворяет данным начальным условиям φ(x0, С) = y0.

Выражение φ(x,С0) называют частным решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Оно получается из общего решения y = φ(x,C) при определённом значении константы C = С0.

Задача об отыскании частного решения дифференциального уравнения называют задачей Коши.

Геометрически общее решение y = φ(x,C)  - система интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной C , а частное решение φ(x,С0)  - одна интегральная кривая этого семейства, проходящая через заданную точку (x0, y0).

1.2.2. Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными.

Уравнением с разделёнными переменными называется уравнение вида

f1(x)dx =  f2(у)dy

где f1(x) и f2(у) — непрерывные функции.

Переменными здесь считаются величины х и у. Это самый простой тип уравнений. Решение его находится непосредственным интегрированием:

∫ f1(x)dx - ∫f2(у)dy = С,

где C— произвольная постоянная.

Уравнением с разделяющимися переменными

называется уравнение вида

y' = f1(x) f2(у)

где f1(x) и f2(у) — непрерывные функции.

1.2.3. Линейные уравнения.

Уравнение вида      

y΄+ p(x) y = f(x),

где p(x) и f(x) – непрерывные функции,  называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если f(x) = 0, то уравнение y΄+ p(x) y = f(x) называется линейным однородным уравнением:  y΄+ p(x) y = 0.

Очевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и его общее решение вычисляется по формуле

где C— произвольная постоянная.

Если f(x) ≠ 0, то уравнение y΄+ p(x) y = f(x) называется линейным неоднородным уравнением.

Решение неоднородного уравнения находится по методу вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что исходное уравнение записывается в форме: y = u·φ(x), где φ(x) = e -∫ p(x) dx.

Общее решение имеет вид:

1.2.4. Уравнение Бернулли.

Уравнение вида      

y΄+ p(x) y = f(x)·уn,

где p(x) и f(x) – непрерывные функции,  называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли решается, так же как и линейное, подстановкой
у = uv  или вариацией произвольной постоянной.

К линейному уравнению сводится подстановкой z = y – n +1 .

1.2.5. Уравнения в полных дифференциалах.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

P(x; y) dx + Q(x; y) dy = 0

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая его часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции F(x; y) в некоторой области G.

Решение такого уравнения имеет вид

1.3.           Обыкновенные уравнения высших порядков.

1.3.1. Основные понятия

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0,

где F - известная функция (n+2) переменных, , x - независимая переменная, y - неизвестная функция, n - порядок уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной - уравнения, записанные в нормальной форме: y(n)) = f(x, y, y', y'', ..., y(n-1)).

Функция y(x) называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке (a, b) и удовлетворяет уравнению для всех  x из (a, b).

Общим решением уравнения называется функция у = φ(х, С1, . . . ,Сn), содержащая n произвольных постоянных и обращающая уравнение в тождество.

Соотношение Ф(х, у, С1, . . . ,Сn) = 0 определяющее общее решение как неявную функцию независимой переменной, называется общим интегралом уравнения.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Чтобы выделить единственное решение уравнения, т. е. решить задачу Коши, достаточно определить начальные условия:

y(x0) = y0 ; y'(x0) = y0,1 ; y''(x0) = y0,2 ; ...; y(n-1)(x0) = y0,n-1.

При определенных ограничениях на правую часть уравнения эта задача имеет единственное решение.

1.3.2. Понижение порядка дифференциального уравнения.

              Важным методом решения уравнения F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0 является замена переменных, приводящая к уравнениям низшего порядка.

Пример №1. Уравнение

              Последовательным интегрированием получаем общее решение:

у = ∫ . . .∫ f(x) dxn + C1xn-1 + C2xn-2 + . . . + Cn, или

Пример №2. Уравнение  F(x, y(k), y(k+1),..., y(n)) = 0   заменой

приводится к уравнению F(x, u, u΄,..., u(n - k)) = 0.

              Используя решение последнего уравнения: u = u(x), находим у из уравнения

Пример №3. Уравнение F(у, у, у΄,..., у(n)) = 0 сводится к уравнению (n – 1) порядка после замены                                                                                                                                         

Пример №4. Уравнение F(x, у, у΄,..., у(n)) = 0  называется однородным порядка k относительно у, у΄,..., у(n), если имеет место тождество:

F(x, kу, kу΄,..., kу(n)) = tk F(x, у, у΄,..., у(n)) = 0.

              Порядок уравнения понижается на 1 заменой

1.3.3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка.