Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Нижегородский государственный технический университет

им. Р. Е. Алексеева

Кафедра Прикладная Математика

Лабораторная работа по курсу

Численные методы

Тема: «Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений».

Нижний Новгород

2009 г 

Содержание:

Постановка задачи

Ручной счёт и алгоритмы

Метод Эйлера

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка

Метод Рунге-Кутты 5-го порядка

Метод Адамса

Правило Рунге для оценки погрешности

Метод прогонки

Реализация на языках программирования

Реализация на С++

Метод Эйлера

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка

Метод Рунге-Кутты 5-го порядка

Метод Адамса

Метод прогонки

Реализация на Fortran

Метод Эйлера

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка

Метод Рунге-Кутты 5-го порядка

Метод Адамса

Метод прогонки

Реализация на SciLab

Метод Эйлера

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка

Метод Рунге-Кутты 5-го порядка

Метод Адамса

Метод прогонки

Реализация на Pascal

Метод Эйлера

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка

Метод Рунге-Кутты 5-го порядка

Метод Адамса

Метод прогонки

Реализация на Basic

Метод Эйлера

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка

Метод Рунге-Кутты 5-го порядка

Метод Адамса

Метод прогонки

Сводная таблица результатов

Вывод

Список используемой литературы

Постановка задачи

Цель данной лабораторной работы:

1.      Изучить основные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений;

2.      Изучить методы решения краевых задач на примере метода прогонки;

3.      Реализовать алгоритмы рассмотренных методов на пяти языках программирования;

4.      Оценить результаты и погрешности всех приведенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и краевых задач.

Ручной счёт и алгоритмы

Метод Эйлера

Дано:

,

, и шаг .

Найти численное решение дифференциального уравнения.

Решение:

Необходимые формулы:

,

,

.

Шаг 1:

Возьмем .

Найдем :

.

Шаг 2:

Возьмем .

Найдем :

.

Шаг 3:

Возьмем .

Найдем :

.

Шаг 4:

Возьмем .

Найдем :

.

Полученные данные поместим в таблицу 1.

Таблица 1. Метод Эйлера

Погрешность:

Точность вычисления зависит от шага

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка

Дано:

,

, и шаг .

Найти численное решение дифференциального уравнения.

Решение:

Необходимые формулы:

,

,

,

.

1) , ,

,

,

,

,

.

Дальнейшие вычисления поместим в таблицу 2:

Таблица 2. Метод Рунге-Кутты 4-го порядка.

Метод Рунге-Кутты 5-го порядка

Дано:

,

, и шаг .

Найти численное решение дифференциального уравнения.

Решение:

Необходимые формулы:

,

,

,

,

,

.

1) , ,

,

,

,

,

,

.

Дальнейшие вычисления поместим в таблицу3:

Таблица 3. Метод Рунге-Кутты 5-го порядка.

Метод Адамса

Дано:

,

, .

Найти численное решение дифференциального уравнения.

Решение:

Необходимые формулы:

,

,

,

,

,

,

.

Правило Рунге для оценки погрешности

Оценим погрешность полученного в методе Адамса и методе Рунге-Кутты решения.

Необходимые формулы:

,

,

,

,

,

, где - порядок погрешности, - вычисления с шагом , - вычисления с шагом . Метод Рунге-Кутта имеет 4-ый порядок погрешности.

1) , , ,

,

,

,

,

.

Дальнейшие вычисления поместим в таблицу 4: