Решение дифференциальных уравнений  с помощью степенных  рядов

Найти решение уравнения  c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

Решение уравнения будем искать в виде 

   

 Подставляем  полученные выражения в исходное  уравнение:

Отсюда получаем:   

 

………………

Получаем, подставив начальные условия  в выражения для искомой функции и ее первой производной:

Окончательно  получим:      

Итого:     

 Существует  и другой метод решения дифференциальных  уравнений с помощью рядов.  Он носит название метод последовательного дифференцирования.    

 Рассмотрим  тот же пример. Решение дифференциального  уравнения будем искать в виде  разложения неизвестной функции  в ряд Маклорена.

   

Если  заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0  подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что   

 Далее  запишем дифференциальное уравнение  в виде   и будем последовательно дифференцировать его по х.

   

После подстановки полученных значений получаем:   

Уравнения с правой частью специального вида  

      Решить  уравнение    

      Правую  часть дифференциального уравнения  представим в виде суммы двух функций f₁(x) + f₂(x) = x + (-sinx).

      Составим  и решим характеристическое уравнение:    

1.      Для функции f₁(x) решение ищем в виде  .

Получаем:   Т.е. 

  

Итого: 

2.      Для функции f₂(x) решение ищем в виде:  .

Анализируя  функцию f₂(x), получаем:   

 Таким  образом, 

  

  

  

Итого: 

   

 Т.е.  искомое частное решение имеет  вид: 

.

дифференциального уравнения с помощью  степенных рядов

Интегрирование  линейного дифференциального уравнения  с помощью степенных

рядов.

Для решения дифференциального  уравнения: 

                                                                       (I.1)

где функции аi(t) (i=0,1,2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точки

t0 с радиусами  сходимости ri : 

   i=0,1,2 

необходимо найти  два  линейно-независимых  решения  (1(t),  (2(t).  Такими

решениями будут, например, решения уравнения (I.1) с  начальными условиями: 

Решения (i будем  искать в виде степенного ряда: 

                                                                       (I.2) 
 

методом неопределенных коэффициентов.

     Для  решения воспользуемся теоремами. 

Теорема 1:   (об аналитическом решении) 

Если p0(x), p1(x), p2(x) являются аналитическими функциями x в окрестности

точки x=x0 и p0(x)?0, то решения уравнения p0(x)y’’ + p1(x)y’  + p2(x)y = 0

также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности  той же

точки и, значит, решения  уравнения можно искать в виде:  y=l0 + l1(x-x0) +

l2(x-x0)2 + … + ln(x-x0)n + … 

Теорема 2:   (о  разложимости решения в обобщенный степенной ряд) 

Если уравнение (I.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но x=x0

является нулем  конечного порядка S функции a0(x), нулем  порядка S-1 или

выше функции a1(x) (если S>1) и нулем порядка не ниже S-2 коэффициента

a2(x) (если S>2), то  существует, по крайней мере, одно  нетривиальное

решение уравнения (I.1) в виде суммы обобщенного степенного ряда:

      y= l0(x - x0)k + l1(x – x0)k+1 + … + ln(x-x0)k+n + …

где k- некоторое  действительное число, которое может  быть как целым, так и

дробным, как положительным, так и отрицательным. 

Рассмотрим уравнение:

       (I.3) 

a0(t) =  t + 2 ; a1(t) = -1; a2(t) = -4t3; a0(t) ? 0 t

по теореме 2 хотя бы одно нетривиальное решение уравнения (I.3) может быть

найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда (t) = cn(t-t0)n

возьмем t0 = 0, будем  искать решение в виде (t) =  cntn

(I.4)

Опираясь на теорему 1 и, дифференцируя ряд (I.4) почленно два раза, получим

       (t) = ncntn-1, (t) = n(n-1)cntn-2

   (2+t)( n(n-1)cntn-2) – (ncntn-1) – 4t3( cntn)=0

Вычислим коэффициенты при соответствующих степенях:

t0 :  4c2 – c1=0       4c2-c1-4c-3=0

t1 :       

    

рекуррентное соотношение  имеет вид

          n N, c-3=0, c-2=0, c-1=0             (I.5)

при  n=0,

         n=1,

         n=2,  c4=0

      n=3,

      n=m-2, 

 

Итак,

Найдем радиусы  сходимости R полученных решений, общим  методом не

представляется  возможным, поэтому на основании  теоремы о существовании и

единственности  решения. 
 
 

Которые имеют  область сходимости (по формуле Даламбера):

а)      

б)        

 Итак, область  сходимости  
 
 

I. Синтез управления  с не более, чем с одним переключением в управляемой

  системе второго  порядка. 

Необходимо рассмотреть  линейную управляемую систему: 
 
 

Требуется подобрать  управление и( ), переводящее фазовую точку (х1,х2)  из

заданного начального состояния в начало координат (0,0).

На выбор управления и( ) накладывается условие | и( )|=1 и  и(  )  имеет не

более одного переключения.

 положение равновесия

      Д=-7   фокус, т.к. <0, то  фазовая  кривая

закручивается. 
 
 

              III.  Малые возмущения системы  линейных уравнений 

В этой задаче рассматривается  система: 
 
 

с действительными  коэффициентами аij.

Необходимо исследовать  фазовые кривые этой системы: 
 
 

               (1) 
 
 

Сведем систему (1) к системе вида: 

    (2) 
 

с помощью замены 
 

       (3) 

Запишем систему (1) в виде

, где           (4)

Подставим   в систему (4), а   в систему (3), тогда получим: 
 
 

        (5)

Найдем собственные  значения матрицы А: 

, 

Систему (2) можно  записать в виде:

,  где         (6)

Из системы (5) и (6) следует, что    

Подберем матрицу С такую, что пусть   и AC = CB

= 
 

Решив эту систему, получим:  a=-2, b=-1, d=0,  т.е.      и

 

Поставим матрицу С в замену: 
 
 
 

Подставим полученные значения в систему (2): 

, где  

                                                

При   получаем систему      

Это уравнение  малых колебаний маятника. По теореме  о дифференцируемости по

параметру при  малых ( решение (на конечном интервале времени) отличается

поправкой порядка  ( от гармонических колебаний:          

Следовательно, при  достаточно малом ( = ((Т) фазовая точка остается вблизи

окружности радиуса А в течении интервала времени Т.

При  фазовая кривая не обязательно замкнутая: она может иметь вид

спирали, у которой  расстояние между соседними витками  очень мало (порядка

(). Чтобы узнать, приближается ли фазовая кривая  к началу координат или

уходит от него, рассмотрим приращение энергии  за один оборот вокруг

начала координат. Нас интересует знак этого приращения: на раскручивающейся

спирали приращение положительное, на сжимающейся – отрицательное, а на

цикле равно 0. Выведем  приближенную формулу:  

Подставляя значения  и , получим: 

Для вычисления энергии  за оборот следовало бы проинтегрировать эту функцию

вдоль витка фазовой  траектории, которая неизвестна. Но виток близок к

окружности. Поэтому  интеграл можно посчитать с точностью  до O() по

окружности радиуса  А.

Пусть , тогда 
 
 
 

 для  (при  малых положительных значениях ), поэтому фазовые

точки удаляются  от центра, т.е. фазовая кривая раскручивается.

Вектор скорости кривой направлен по часовой стрелке, так как точка с

координатами (1,0) переходит в точку (0,-1) 

Так как detC>0, то при замене  на   ориентация системы координат

не изменилась.

    3. Приближенное вычисление  определенных интегралов  при помощи степенных  рядов

    Пример 3.1. Вычислить интеграл 

      с точностью 0,01.

    Решение.  Пользуясь рядом Маклорена для  , заменяя в нем x на (-x²), имеем

    

    Почленное интегрирования этого ряда от 0 до 1 дает следующее представление

    

    

    Для нахождения данного интеграла с  требуемой точностью достаточно взять 4 первых члена ряда. Тогда  получим

      причем остаток модуля не превосходит  пятого члена ряда, то есть числа    

    4. Приближенное интегрирование  дифференциальных  уравнений при  помощи степенных  рядов