Решение дифференциальных уравнений второго порядка методом конечных разностей (МКР)

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

«Санкт-Петербургский государственный

Архитектурно-строительный

Университет»

Факультет общестроительный

Кафедра прикладной математики и информатики

Курсовая работа по теме

Решение дифференциальных уравнений  второго порядка методом конечных разностей (МКР)

Выполнил:

студент Полозов А.В.

группа 3-С-1

Проверила: Галкина А. И.

 

 

Санкт-Петербург

2013 

 

Оглавление

1.Постановка  решаемой задачи 3

2. Метод  решения 3

3. Применение  метода прогонки для решения  систем линейных алгебраических  уравнений с трехдиагональными  ленточными матрицами 5

4. Решение  конкретного дифференциального  уравнения 6

Список использованной литературы 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Постановка решаемой  задачи

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют  следующий вид:

,

где x - параметр, определяющий некоторую координату исследуемого объекта, p(x), q(x), f(x) – заданные функции.

Для решения задачи, определяемой (1), необходимо задать дополнительные условия, определяющие состояние исследуемого объекта при некоторых заданных значениях координатной переменной x. Условия, определяющие состояние объекта в заданных точках x, называются граничными.

Таким образом, для нахождения решения уравнения (1) необходимо определить граничные условия. Например, следующим образом:

где Y₀ , Y_k –фиксированные числовые значения Y₀ и Y_k , определяющие значения исследуемой координаты.

2. Метод решения

Одним из численных методов, применяемых для решения таких  уравнений, является метод конечных разностей, называемый также методом  сеток. Основой этого метода является замена непрерывной области пространства изменения аргумента х на дискретное множество – "сетку" точек х_i, в которых определяются значения функции y(x_i ).

При использовании метода конечных разностей решение задачи осуществляется в результате последовательной реализации четырех этапов:

1. дискретизация области изменения аргумента х;
2. переход от непрерывной дифференциальной математической модели к конечно-разностной модели исследуемого объекта;
3. оформление разностного аналога краевых условий задачи;
4. решение полученной в результате выполнения первых трех шагов математической системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим последовательно  выполнение этих этапов для разработки алгоритма решения конкретной краевой  задачи.

Во-первых, для дискретизации  области изменения аргумента х интервал изменения х разделим на n равных частей. При этом формируется сетка с (n+1) равноотстоящими узлами. Расстояние между узлами (шаг сетки) равен : 
h = (x_k  - x₀ )/n, а значения х_i в узлах сетки легко вычисляются по формуле х_i = х₀ + i · h   (i=0,1,2,. . . ,n).

Второй этап перехода от непрерывного дифференциального уравнения  (1) к конечно-разностной модели реализуется на базе классического определения производной как предела:

,

Из (3), получим выражения для аппроксимации первой производной y_i', учитывающие значения функции в двух симметричных относительно х_i узлах:

.

Для вывода разностной формулы второй производной воспользуемся  тем, что y'' = ( y' )', а в записи первой производной используем оба варианта представления производной в формулах .

Подставив выражения (4) и (5) в формулу (1), получим:

Очевидно, что формула (6) будет верна только для внутренних узлов х_i (i=1,2,…,n-1). Умножим (6) на h² и приведем подобные члены. В итоге получим

Введем дополнительные обозначения:

,

и запишем (7), используя обозначения (8). Отметим, что при этом необходимо изменить знак перед коэффициентом C _i .

Таким образом, мы получили систему уравнений (9), содержащую (n-1) линейное алгебраическое уравнение относительно (n+1) неизвестных y_i (i =0, 1, 2, …,n) .

Окончательное оформление системы  уравнений выполняется при записи разностного аналога краевых  условий задачи. Недостающие уравнения  мы получаем из краевых условий:

 

 

Запишем эту систему для  случая n = 5.

Полученная система линейных алгебраических уравнений имеет  трехдиагональную матрицу. В первом уравнении этой системы коэффициенты А₀ = 0, С₀ = -1, а В₀ = 0. В пятом уравнении А₅ = 0, С₅ = -1, а В₅ = 0.Одним из эффективных методов решения систем уравнений такого типа является метод прогонки.

3. Применение метода  прогонки для решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными ленточными матрицами

Решение СЛАУ ищется в виде:

где a_i, β_i - неизвестные прогоночные коэффициенты.

Значения коэффициентов a_i и β_i, как показано в, вычисляются по формулам прямого хода метода прогонки. Запишем уравнение (10) для i = 0:

Приведём первое уравнение  системы 

к виду (11). Для этого перенесем  член B₀Y₁ в правую часть и разделим уравнение на –С₀ .

Сравнивая (11) и (12) получаем значения прогоночных коэффициентов α₀ и β₀.

Рассматривая остальные  уравнения СЛАУ получим общие рекуррентные формулы для коэффициентов α_i и β_i.

Запишем систему уравнений, состоящую из уравнения (11) для i = n-1 и последнего уравнения СЛАУ:

Решая систему (15) и используя  формулу (10) при i = n, находим выражение для Y_n и соответствующий ему коэффициент прогонки β_n :

Определив значение β_n, по формулам (10) находим в обратном порядке решение СЛАУ:

.

4. Решение конкретного  дифференциального уравнения

Рассмотрим решение ДУ на примере:

                                                             , где

Область изменения аргумента: 2<x<3

Начальное значение функции: y(2)=1

Конечное значение функции: y(3)=0.5

n=5

Последовательность действий:

1)Определить основные  параметры, оформить таблицу:

2) В ячейки А3-А8 вводим индексы строк:

 

3) В ячейки В3-В8 вводим:

 

4) В ячейки  С4, E4, D4 записываем формулы для вычисления pi: = -1/(B4-2), f: =1, qi:   = B4-1 и протягиваем до С7, E7, D7:

 

5) В ячейки  F4, G4, H4 записываем формулы для вычисления ai: =1-C4*$L$1/2, ci:= =2-D4*$L$1^2, bi: =1+C4*$L$1/2и протягиваем до F7, G7, H7:

 

6) Записываем в ячейки I3= =F1; I8= =H1, затем в ячейку I4 записываем формулу для Fi: = 1и протягиваем до I7:

 

          

 

         7) Записываем в ячейки J3= =H3/G3; K3= =-I3/G3, далее вычисляем значения  alfa: =H4/(G4-J3*F4)и betta:  =(K3*F4-I4)/(G4-J3*F4), используя вычисленные значения коэффициентов  ai, ci, Bi, Fi:

 

 

 

 

8) Запишем в ячейки  L8= =H1, а в ячейку L7 запишем формулу =J7*L8+K7и протянем её до ячейки L3:

 

9) Построим график функции  Yi. Выделим ячейки столбца «Yi» от ячейки L3 до L8 создадим диаграмму:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10) ) Выполним проверку, для этого составим матрицу, в ячейку I11 введем формулу: =МУМНОЖ(МОБР(B11:G16);(I3:I8))и протянем её до I16. В конечном счете, получились одинаковые результаты, следовательно, ДУ решено, верно:

 

1	0	0	0	0	0		1,0
1,5	-1,952	0,5	0	0	0		1,0
0	1,25	-1,944	0,75	0	0	=	1,1
0	0	1,1667	-1,936	0,8333	0		1,3
0	0	0	1,125	-1,928	0,875		1,4
0	0	0	0	0	1		1,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

1. Методические указания по выполнению лабораторной работы в курсе “Информатика” для студентов очной и заочной форм обучения всех специальностей/ СПбГАСУ; Сост.: Любимов Е.Б., Любимов Б.Е., Мовсесова Л. В. СПб., 2005. 16 c