Дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = f(x),

где y = y(x) — неизвестная функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) — известные непрерывные функции.

              Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n -го порядка:

                            L(y) = y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y .

              Уравнения
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = 0 и

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = f(x),  где f(x) ≠ 0,

называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальными уравнениями  n - го порядка.

              Часто однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения записывают в виде: L(y) = 0 и L(y) = f(x) соответственно.

Если в однородном уравнении ai(x) (i = 1, 2, . . ., n) те же самые, как и в неоднородном, то однородное уравнение называется соответствующим данному неоднородному уравнению.

Если y1, y2,. . . yk — частные решения однородного линейного уравнения L(y)=0, то их линейная комбинация y = c1 y1 + c2 y2 + . . . + ck yk при произвольных постоянных c1, c2, . . ., ck так же является решением того же уравнения.

Система функций  y1 = y1(x) + y2 (x) + . . . + yn(x) называется линейно независимой, если их линейная комбинация c1 y1 + c2 y2 + . . . + cn yn ни при каких значениях c1, c2, . . ., cn, кроме c1 =  c2 =  . . . =  ck = 0, не обращается тождественно в нуль.

Если функции y1, y2,. . ., yk — линейно независимые частные решения однородного линейного уравнения, то их называют фундаментальной системой решений.

Общее решение однородного уравнения имеет вид y = c1 y1 +. . . + cn yn, где y1, . . . , yn — фундаментальная система решений, cj — произвольные постоянные. Последние можно определить так, чтобы частное решение удовлетворяло начальным условиям у = у0, . . ., у(n – 1) = у0(n – 1) при х = х0.

Если известен частный интеграл y1(x) однородного уравнения, то подстановкой z = y/y1, а затем z′ = u получим линейное уравнение порядка n – 1.

              Общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

              Если известно общее решение c1 y1 +. . . + cn yn  соответствующего однородного уравнения, то решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных.

Решение имеет вид: у = с1(х)у1 + с2(х)у2 + . . . +  сn(х)уn, где неизвестные функции сj(х) находятся из системы уравнений относительно

Решив систему и получив                                                           находим

сj = ∫φј(х)dx + Аj, где Аj – постоянные интегрирования.

1.3.4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y(n) + a1 y(n-1) + ... + an-1  y' + an y = 0,

где y = y(x) — искомая функция, a1, a2, ..., an-1, an — вещественные числа.

Решением такого уравнения является функция ekx, где k – корень характеристического уравнения kn + a1kn – 1 + . . . + an – 1 k + an = 0.

Если все корни k1, k2, . . ., kn различны, то ek1x, ek2x, . . ., ekтx – фундаментальная система решений и y = c1ek1x+ c2ek2x+ . . .+ cnekтx – общее решение однородного уравнения; с1, …,сn – произвольные постоянные.

Если корни k комплексные, то они (при вещественных a1, a2, ..., an-1, an) попарно сопряжённые. Например: kr = α + βi, kr+1 = α - βi, тогда и     заменяются действительными функциями еαхcosβx и еαхsinβx с получением новой фундаментальной системы.

              Если корень k = ks имеет кратность m, то в фундаментальную систему решений, кроме     , надо включить функции:

              Если корень k = α + βi – корень кратности m (α – βi – корень той же кратности, если a1, a2, ..., an-1, an – вещественные), то в фундаментальную систему решений входят функции:

1.3.5. Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

y(n) + a1 y(n-1) + ... + an-1  y' + an y = f(x)

решается методом вариации произвольных постоянных.

              Его частное решение можно найти по формуле:

Здесь Y – решение соответствующего однородного уравнения с условиями:

Y(0) = 0, Y′(0) = 0, . . .,Y(n – 2) = 0, Y(n – 1) = 1.

              Общее решение имеет вид 

Здесь z – общее решение соответствующего однородного уравнения.

              В случае, когда f(x) = eax [P(x) cos bx + Q(x) sin bx], где P и Q – многочлены от x, частное решение уравнения находится методом неопределённых коэффициентов.

Если a + bi – не является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, то решение подбирается в форме правой части f(x): eax [P1(x) cos bx + Q1(x) sin bx].

Если a + bi – корень кратности m характеристического уравнения, то решение подбирается в форме: xmeax [P1(x) cos bx + Q1(x) sin bx].

Здесь P1 и Q1 - многочлены от x с неопределёнными коэффициентами степени, совпадающей с наибольшей из степеней P и Q.

              Если f(x) = f1(x)+f2(x), то частное решение:       где

решения уравнений 

1.4. Дифференциальные уравнения в частных производных.

1.4.1. Линейные уравнения первого порядка.

Решение однородного линейного дифференциального уравнения в частных производных

где x1, x2, . . ., xn – независимые переменные, X1, X2, …, Xn зависят от x1, x2, . . ., xn и имеют непрерывные производные, z – искомая функция, равносильно решению системы обыкновенных уравнений

Если φі(x1, x2, . . ., xn) = Ci , (i=1, 2, …, n – 1) – искомое решение этой системы, то
z = Ф(φ1, φ2, . . , φn – 1) – общее решение уравнения в частных производных, причём Ф – произвольная дифференцируемая функция своих n – 1 аргументов.

В случае неоднородного уравнения

где Xi, R зависят от x1, x2, . . ., xn, z, общий интеграл z определяется из равенства

Ф(φ1, φ2, . . , φn – 1) = 0, где Ф – произвольная дифференцируемая функция, а φі(x1, x2, . . ., xn, z) = Ci , (i=1, 2, …, n – 1) – система интегралов системы уравнений