Классы экономико-математических моделей и методы их прикладного значения в экономике и управлении

     Среднее число заявок в системе L_сист определим по формуле математического ожидания, которая имеет вид (формула 2.8).

     L_сист= = (1-Р) _или L_сист= ,   (2.8)

     где L_сист - среднее число заявок в системе;

     к - среднее число занятых каналов;

     Р – предельные вероятности.

     Найдем  среднее число заявок в очереди  L_оч:

     L_оч= L_сист-L_об.,     (2.9)

     где L_об  - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.

     Среднее число заявок под обслуживанием  определим по формуле математического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающего значения 0 (если канал свободен) либо 1 (если канал занят) (формула 2.10).

     L_об=0Р₀+1(1-Р₀),     (2.10)

     где L_об  - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием;

     Р₀ – предельная вероятность.

     При любом характере потока заявок, при  любом распределении времени  обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (в очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е.

     Т_сист.= L_сист, Т_оч.= L_оч.,     (2.11)

     где L_сист – среднее число заявок в системе;

     Т_сист – среднее время пребывания заявки в системе;

     L_оч – среднее число заявок в очереди (длина очереди);

       Т_оч – среднее время пребывания заявки в очереди.

     Это формулы Литтла, они вытекают из того, что в предельном, стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих  в систему, равно среднему числу  заявок, покидающих ее: оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность λ.

     Среднее время пребывания заявки в системе  определяется по формуле 2.12.

     Т_сист.= ,     (2.12)

     где Т_сист – среднее время пребывания заявки в системе;

     Р - предельная вероятность;

       λ – поток заявок.

     Среднее время пребывания заявки в очереди (формула 2.13).

     Т_оч.= ,     (2.13)

     где Т_оч – среднее время пребывания заявки в очереди;

     Р - предельная вероятность;

     λ – поток заявок.

     Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании – интенсивность m. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.

     Система может находиться в одном из состояний  S₀, S₁, S₂, ..., S_k, ..., S_n, ..., нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S_o - в системе нет заявок (все каналы свободны); S₁ - занят один канал, остальные, свободны; S₂ - заняты два канала, остальные свободны; ..., S_k - занято k каналов, остальные свободны; ..., S_n - заняты все n каналов (очереди нет); S_n+1 - заняты все n каналов, в очереди одна заявка; ..., S_n+r - заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди.

     Граф  состояний системы показан на рисунке 2.4. В отличие от предыдущей СМО, интенсивность потока обслуживаний (переводящего систему из одного состояния в другое справа налево) не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до n увеличивается от величины m до nm, так как соответственно увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок в СМО большем, чем n, интенсивность потока обслуживании сохраняется равной nm.

                             λ                λ             λ λ λ λ           λ

                               m              2m 3m km          (k+1)m    nm          nm

     Рисунок 2.4 - Граф состояний

     При P/n<1 предельные вероятности существуют. Если P/n≥1, очередь растет до бесконечности. Формула для вычисления предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью следующая (формула 2.14).

     P₀ = (1+

+ +…+ +…+ )^-1,    (2.14)

     где Р, Р², Рⁿ,…, Pⁿ⁺¹ – предельные вероятности n-канальной СМО.

     Вероятность того, что заявка окажется в очереди.

     Р_оч.= Р₀,      (2.15)

     где Р_оч. – вероятность, что заявка окажется в очереди.

     Среднее число занятых каналов вычисляется  по формуле 2.16.

      = =Р,     (2.16)

     где - среднее число занятых каналов (для многоканальной системы);

     λ – поток заявок;

     m - поток обслуживания;

     Р – предельная вероятность.       

     Среднее число заявок в очереди определяется по формуле:

     L_оч=

,

     где L_оч - среднее число заявок в очереди. 

     Среднее число заявок в системе (формула 2.18).

     L_сист.=L_оч.+Р,    (2.18)

     где L_сист – среднее число заявок в системе;

     Р – предельная вероятность;

     L_оч - среднее число заявок в очереди.

     Среднее время пребывания заявки в очереди (формула 2.19).

     Т_оч.= ,     (2.19)

     где Т_оч – среднее время пребывания заявки в очереди;

     Р – предельная вероятность;

     λ – поток заявок.

     Среднее время пребывания заявки в системе (формула 2.20).

     Т_сист.= ,     (2.20)

     где Т_сист – среднее время пребывания заявки в системе.

     Для СМО с неограниченной очередью при  P<1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Р_отк=0, относительная пропускная способность Q=1, а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А=λ.

     СМО с ограниченной очередью отличаются от рассмотренных выше задач лишь тем, что число заявок в очереди ограничено (не может превосходить некоторого заданного m). Если новая заявка поступает в момент, когда все места в очереди заняты, она покидает СМО необслуженной, т.е. получает отказ.

     На  практике часто встречаются СМО с так называемыми «нетерпеливыми» заявками. Такие заявки могут уйти из очереди, если время ожидания превышает некоторую величину. В частности, такого рода заявки возникают в различных технологических системах, в которых задержка с началом обслуживания может привести к потере качества продукции, в системах оперативного управления, когда срочные сообщения теряют ценность (или даже смысл), если они не поступают на обслуживание в течение определенного времени.

     В простейших математических моделях  таких систем предполагается, что заявка может находиться в очереди случайное время, распределенное по показательному закону с некоторым параметром n, т.е. можно условно считать, что каждая заявка, стоящая в очереди на обслуживание, может покинуть систему с интенсивностью n.

     На  практике часто встречаются замкнутые  системы обслуживания, у которых  входящий поток заявок существенным образом зависит от состояния  самой СМО. Для замкнутых СМО  характерным является ограниченное число источников заявок, причем каждый источник «блокируется» на время обслуживания его заявки (т.е. он не выдает новых заявок).

     Таким образом, для классификации СМО  важное значение имеет дисциплина обслуживания, определяющая порядок выбора заявок из числа поступивших и порядок распределения их между свободными каналами. По этому признаку обслуживание заявки может быть организовано по принципу «первая пришла - первая обслужена», «последняя пришла - первая обслужена» или обслуживание с приоритетом (когда в первую очередь обслуживаются наиболее важные заявки). Приоритет может быть как абсолютным, когда более важная заявка «вытесняет» из-под обслуживания обычную заявку (например, в случае аварийной ситуации плановые работы ремонтных бригад прерываются до ликвидации аварии), так и относительным, когда более важная заявка получает лишь «лучшее» место в очереди [7]. 
 

 

     2.4 Построение экономико-математической  модели

       системы массового  обслуживания 

     В порту с одним причалом выгружаются  прибывающие суда. Аналитически известны интенсивность потока заявок λ = 0,5 и интенсивность потока обслуживания (разгрузка судов) μ = 1,2. При этом может образоваться очередь.

     Менеджеров, организующих работу порта, интересуют вероятности очереди размером k=4 и вероятность отсутствия очереди. Рассчитать вероятность очереди на 1, 2, …k заявок.

     Решение

     S₀ – причал свободен, очереди нет;

     S₁ – канал обслуживает, очереди нет;

     S₂ – канал обслуживает, в очереди 1 заявка;

     S₃ – канал обслуживает, в очереди 2 заявки;

     S₄ – канал обслуживает, в очереди 3 заявки;

     S₅ – канал обслуживает, в очереди 4 заявки.

      Построим график состояний (рисунок 2.5): 
 
 

      Рисунок 2.5 - График состояний

      = P₁ μ – P₀ λ = 0

      = P₀ λ + P₂ μ - P₁ μ – P₁ λ = 0

      = λ P₁ - μ P₃ – P₂m - P₂λ = 0

      = P₂λ – P₃m = 0

        P₀ + P₁ + P₂ + P₃ = 1 

     Подставим данные и решим систему уравнений: 

      1,2Р₁ – 0,5Р₀ = 0

     0,5Р₀ + 1,2Р₂ – 1,2P₁ – 0,5P₁ = 0

     0,5P₁ + 1,2Р₃ – 1,2Р₂ - 0,5P₂ = 0

     0,5P₂ - 1,2Р₃ = 0   

     P₀ + P₁ + P₂ + P₃ = 1 

     Р₁ = Р₀; Р₂ = 0,5 * 0,5 = 0,25Р₀

     Р₀ + Р₀ + 0,25 Р₀ = 1; Р₀ = Р₀ = 1,667Р₀

     1,667Р₀ = 1; Р₀ = 0,6

      Р₁ = 0,25