Классы экономико-математических моделей и методы их прикладного значения в экономике и управлении

     При всем многообразии СМО процессы обслуживания имеют общие черты: требование на обслуживание (заявка), канал обслуживания и, в система с ожиданием, дисциплина очереди. Для того чтобы достаточно точно сформулировать математическую модель СМО, необходимо задать:

     характеристики входящего потока заявок (требований);

     характеристики  механизма обслуживания;

     дисциплину  очереди.

     Поток заявок – это последовательность заявок, поступающих на пункт обслуживания (канал, станцию, пункт и т.д.). Заявки возникают случайно и требуют  определенного, обычно заранее точного не предсказуемого времени для их удовлетворения. В простейшем случае (пуассоновский поток) вероятность появления заявки в любой малый промежуток времени пропорциональна длине этого промежутка и не зависит от того, возникали или нет заявки в предшествующие промежутки времени.

     Поток называется стационарным, если вероятность  поступления определенного числа  заявок за какой-либо промежуток времени  определяется только величиной этого  промежутка и не зависит от момента  его начала. Если количество поступающих за произвольно взятые (разные) промежутки времени заявок взаимно независимо, то такой поток называется потоком без последствий. Если в систему может поступить одновременно только конечное число заявок, то входящий поток называется ограниченным, в противном случае – неограниченным [3].

 

     2.3  Классификация систем  массового обслуживания 

и оценка их эффективности 

     СМО делят на два основных типа (класса): СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью).

     В СМО с отказами - заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (например, заявка на телефонный разговор в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает СМО необслуженной).

     В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

     А - абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

     Q - относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

     Р_отк - вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

      - среднее  число занятых каналов (для  многоканальной системы).

     В одноканальной системе с отказами имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность m. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

     Система S (СМО) имеет два состояния: S_o - канал свободен, S₁ - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рисунке 2.1.

       λ

                                                           m

     Рисунок 2.1 - Размеченный граф

     В предельном, стационарном режиме система  алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид (формула 2.1).

 λр₀ = mР₁ (2.1)

mР₁ = λр₀,

     где λ - поток заявок;

     m - поток обслуживаний.

     Система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие р_о+p₁=l, найдем предельные вероятности состояний (формула 2.2).

     Р₀ = , Р₁ = ,     (2.2)

     где Р₀, Р₁ - предельные вероятности состояний,  

     которые выражают среднее относительное  время пребывания системы в состоянии S₀ (когда канал свободен) и S₁ (когда канал занят), т.е. определяют относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа Р_отк.

     Q = , P_отк = ,     (2.3)

     где Q - относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

     Р_отк - вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

       Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов (формула 2.4).

     А =

,      (2.4)

     где А - абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени.

     Многоканальная  система с отказами

     Имеется п каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживании имеет интенсивность m. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

     Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S₀, S₁, S₂, ..., S_k, ... S_n, где S_k — состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов (рисунок 2.2).

                              λ                λ             λ λ λ λ

                               m              2m 3m km          (k+1)m    nm

     Рисунок 2.2 - Граф состояний СМО

       Поток заявок последовательно  переводит систему из любого  левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью λ. Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Если СМО находится в состоянии S₂ (два канала заняты), то она может перейти в состояние S₁ (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2m. Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния  S₃ (три канала заняты) в S₂, будет иметь интенсивность 3m, т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.

     Предельная  вероятность будет вычисляться  по формуле 2.5.

     P₀ = (1+ + +…+ +…+ )^-1,     (2.5)

     где Р₀ - предельная вероятность состояний.

     Величина  Р = называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки (2.6).

     P₀ = (1+Р + +…+ +…+ )^-1,      (2.6)

     где Р - среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки.

     Эти формулы для предельных вероятностей называются формулами Эрланга.

     В СМО с ожиданием - заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание. СМО с ожиданием подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной или неограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания и т.п.

     Системы массового обслуживания с ожиданием (с неограниченной очередью)

     В  качестве показателей эффективности  СМО с ожиданием будем рассматривать:

     А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

     Q – относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

     Р_отк – вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

      - среднее  число занятых каналов (для  многоканальной системы);

     L_сист – среднее число заявок в системе;

     Т_сист – среднее время пребывания заявки в системе;

     L_оч – среднее число заявок в очереди (длина очереди);

     Т_оч – среднее время пребывания заявки в очереди;

     P_зан – вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

     Одноканальная система с неограниченной очередью

     Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании – интенсивность m. Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.

     Система может находиться в одном из состояний S₀, S₁, S₂, ..., S_k, по числу заявок, находящихся в СМО: S₀ - канал свободен; S₁ - канал занят (обслуживает заявку), очереди нет; S₂ - канал занят, одна заявка стоит в очереди; ..., S_k - канал занят, (k-1) заявок стоят в очереди и т.д. Граф состояний СМО представлен на рисунке 2.3.

                              λ                λ             λ λ λ 

                               m               m  m   m            m   

     Рисунок 2.3 - Граф состояний

     Прежде  чем записать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время , очередь может неограниченно возрастать. Если Р<1, т.е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если Р<1, очередь растет до бесконечности.

     Предельные  вероятности состояний будут  вычисляться по формулам (2.7).

     Р₁=Р(1-Р), Р₂=Р²(1-Р),…, Р_К=Р^К(1-Р),…,     (2.7)

     где р_о, р₁, р₂, ..., р_k ... – предельные вероятности.

     Предельные  вероятности р_о, р₁, р₂, ..., р_k ... образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем Р<1, следовательно, вероятность р_о - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при Р<1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.