Классы экономико-математических моделей и методы их прикладного значения в экономике и управлении

u₁ = 0 – берем произвольно

u₂ = -5

u₃ = -4

v₁ = 11

v₂ = 10

v₃ = 12

v₄ = 15

     Составляем  разности потенциалов для свободных  клеток:

Δ₁₂ = (u₁ + v₂) – c₁₂ = 0+10-7 = 3

Δ₁₃ = (u₁ + v₃) – c₁₃ = 0+12-12 = 0

Δ₂₁ = (u₂ + v₁) – c₂₁ = -5+11-9 = -3

Δ₂₃ = (u₂ + v₃) – c₂₃ = -5+12-16 = -9

Δ₃₁ = (u₃ + v₁) – c₃₁ = -4+11-13 = -6

Δ₃₄ = (u₃ + v₄) – c₃₄ = -4+15-14 = -3

     Так как, Δ₁₂ >0,  то опорное решение не является оптимальным и его можно улучшить, перейдя от одного опорного решения к другому. Строим цикл для ячейки Δ₁₂ (таблица 1.7) .

     Таблица 1.7 – Построение цикла

 

     Имеем следующее распределение поставок (таблица 1.8): 
 
 

     Таблица 1.8 – Распределение поставок

 

      Для каждой заполненной клетки записываем уравнение потенциалов:

u₁ + v₁ = 11

u₁ + v₂ = 7

      , где u_i – номер строки, а v_j- номер столбца

u₂ + v₂ = 5

u₂ + v₄ = 10

u₃ + v₂ = 6

u₃ + v₃ = 8

     Решая систему уравнений получаем:

u₁ = 0 – берем произвольно

u₂ = -2

u₃ = -1

v₁ = 11

v₂ = 7

v₃ = 9

v₄ = 12

     Составляем  разности потенциалов для свободных  клеток:

Δ₁₃ = (u₁ + v₃) – c₁₃ = 0+9-12 =-3

Δ₁₄ = (u₁ + v₄) – c₁₄ = 0+12-15 = -3

Δ₂₁ = (u₂ + v₁) – c₂₁ = -2+11-9 = 0

Δ₂₃ = (u₂ + v₃) – c₂₃ = -2+9-16 = -9

Δ₃₁ = (u₃ + v₁) – c₃₁ = -1+11-13 = -3

Δ₃₄ = (u₃ + v₄) – c₃₄ = -1+12-14 = -3 

     Получили, что все оценки свободных клеток не положительные, следовательно, найденное решение оптимальное. Найденный план оптимальный.

      F=11*95+7*20+5*10+10*80+6*120+8*85=1045+140+50+800+720+680=3435 – Стоимость перевозки.

       Ответ: F=3435;                  95  20    0    0

                                           Х_опт = 0   10     0     80

                                                  0    120   85   0  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      

     ГЛАВА 2 СТОХАСТИЧЕСКИЕ  МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ

     2.1 Примеры стохастических  моделей экономики 

     Стохастическая  модель направлена на изучение косвенных  связей, т. е. опосредованных факторов (в случае невозможности определения непрерывной цепи прямой связи). Из этого вытекает важный вывод о соотношении детерминированного и стохастического анализа: так как прямые связи необходимо изучать в первую очередь, то стохастическая модель носит вспомогательный характер. Стохастическая модель выступает в качестве инструмента углубления детерминированного анализа факторов, по которым нельзя построить детерминированную модель.

     Стохастическое  моделирование опирается на обобщение закономерностей варьирования значений экономических показателей  - количественных характеристик факторов и результатов хозяйственной деятельности. Количественные параметры связи выявляются на основе сопоставления значений изучаемых показателей в совокупности хозяйственных объектов или периодов. Таким образом, первой предпосылкой стохастического моделирования является возможность составить совокупность наблюдений, т. е. возможность повторно измерить параметры одного и того же явления в различных условиях.

     В стохастическом анализе, где сама модель составляется на основе совокупности эмпирических данных, предпосылкой получения  реальной модели является совпадение количественных характеристик связей в разрезе всех исходных наблюдений. Это означает, что варьирование значений показателей должно происходить в пределах однозначной определенности качественной стороны явлений, характеристиками которых являются моделируемые экономические показатели (в пределах варьирования не должно происходить качественного скачка в характере отражаемого явления). Значит, второй предпосылкой применяемости стохастического подхода моделирования связей является качественная однородность совокупности (относительно изучаемых связей).

     Изучаемая закономерность изменения экономических  показателей (моделируемая связь) выступает в скрытом виде. Она переплетается со случайными с точки зрения исследования (неизучаемыми) компонентами вариации и ковариации показателей. Закон больших чисел гласит, что только в большой совокупности закономерная связь выступает устойчивее случайного совпадения направления варьирования (случайной к- 
вариации). Из этого вытекает третья предпосылка стохастического анализа -достаточная размерность (численность) совокупности наблюдений» позволяющая с достаточной надежностью и точностью выявить изучаемые закономерности (моделируемые связи). Уровень надежности и точности модели определяется практическими целями использования модели в управлении производственно-хозяйственной деятельностью.

     Четвертая предпосылка стохастического подхода - наличие методов, позволяющих выявить количественные параметры экономических показателей из массовых данных варьирования уровня показателей. Математический аппарат применяемых методов иногда предъявляет специфические требования к моделируемому эмпирическому материалу. Выполнение данных требований является важной предпосылкой применяемости методов и достоверности полученных результатов.

     Основная  особенность стохастического факторного анализа заключается в том, что  при стохастическом анализе нельзя составлять модель путем качественного (теоретического) анализа, необходим количественный анализ эмпирических данных.

     Метод корреляционного и регрессионного (стохастического) анализа широко используется для определения тесноты связи  между показателями, не находящимися в функциональной зависимости, т.е. связь проявляется не в каждом отдельном случае, а в определенной зависимости.

     С помощью корреляции решаются две  главные задачи:

     составляется  модель действующих факторов (уравнение  регрессии);

     дается  количественная оценка тесноты связей (коэффициент 
корреляции).

     Матричные модели представляют собой схематическое  отражение экономического явления  или процесса с помощью научной  абстракции. Наибольшее распространение  здесь получил метод анализа  «затраты- выпуск», строящийся по шахматной  схеме и позволяющий в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат и результатов производства.

     Математическое  программирование - это основное средство решения задач по оптимизации  производственно-хозяйственной деятельности.

     Метод исследования операций направлен на изучение экономических систем, в том числе производственно-хозяйственной деятельности предприятий, с целью определения такого сочетания структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени позволит определить наилучший экономический показатель из ряда возможных.

     Теория  игр как раздел исследования операций - это теория математических моделей  принятия оптимальных решений в  условиях неопределенности или конфликта  нескольких сторон, имеющих различные  интересы [2]. 

     2.2 Понятие системы  массового обслуживания 

      При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для  многоразового использования при  решении однотипных задач. Возникающие  при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы - систем массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем являются телефонные системы, ремонтные мастерские, вычислительные комплексы, билетные кассы, магазины, парикмахерские и т.п.

     Каждая  СМО состоит из определенного  числа обслуживающих единиц (приборов, устройств, пунктов, станций), которые называются каналами обслуживания. Каналами могут быть линии связи, рабочие точки, вычислительные машины, продавцы и др. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные.

     Заявки  поступают в СМО обычно не регулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований). Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что СМО оказывается загруженной неравномерно: в какие-то периоды времени скапливается очень большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными), в другие же периоды СМО работает с недогрузкой или простаивает.

     Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок.

     В качестве показателей эффективности  СМО используются: среднее число  заявок, обслуживаемых в единицу времени; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания; вероятность отказа в обслуживании без ожидания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение и т.п.