Системы счисления

 
 

Урок  № 3

Тема: 2.2 Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную.

Цель: сформировать у учащихся навыки и умения переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную.

Требования  к знаниям и умениям:

Учащийся  должен знать:

- целочисленное  деление;

- алгоритм  перевода чисел из десятичной  системы счисления в любую  другую.

Учащиеся  должны уметь:

- переводить числа из десятичной системы счисления в любую другую. 

Теоритическая часть:

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную более сложен и может осуществляться различными способами. Расмотрим один из алгоритмов перевода на примере перевода чисел из десятичной системы в двоичную. При этом необходимо учитывать, что алгоритмы перевода целых чисел и правильных дробей будут различаться.

Алгоритм  перевода цклых десятичных чисел  в двоичную систему счисления. Пусть Ацд – целое десятичное число. Запишем его в виде суммы степеней основания 2 с двоичными коэффициентами. В его записи в развернутой форме будут отсутствовать отрицательные степени основания (числа 2):

Ацд = an-1∙2*n-1+an-2∙2*n-2+…+a1∙2*1+a0∙2*0.

На первом шаге разделим число Ацд на основание двоичной системы, то есть на 2. Частное от деления будет равно

an-1∙2*n-2+an-2∙2*n-3+…+a1,

а остаток  - равен a0.

На втором шаге целое частное опять разделим на 2, остаток от деления будет  теперь равен a1.

Если  продолжать этот процесс деления, то после n-го шага получим последовательность остатков:

a0, a1, …, an-1

Легко заметить, что их последовательность совпадает с обратной последовательностью  цифр целого двоичного числа, записаного в свернутой форме:

А2 = an-1… a1, a0.

Таким образом, достаточно записать остатки в обратной последовательности, чтобы получить искомое двоичное число.

Алгоритм  перевода целого десятичного числа  в двоичное будет следующим:

1. Последовательно выполнять делениеисходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основании системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя, то есть меньше 2.
2. Записать полученые остатки в обратной последовательности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичного  числа 19 в двоичную систему, записывая  результаты в таблицу:

 

В результате получае двоичное число: 

А2 = а4 а3 а2 а1 а0 = 100112

Алгоритм  перевода правильных десятичных дробей в двоичную систему счисления. Пусть  Адд – правильная десятичная дробь. В ее записи в развернутой форме будут отсутствовать положительные степени основания (числа 2):

Адд = а-1∙2*-1+а-2∙2*-2+…

На первом шаге умножим число Адд на основание двоичной системы, то есть на 2. Произведение будет равно:

а-1 + а-2∙2*-1+…

Целая часть будет равна  а-1.

На втором шаге оставшуюся дробную часть опять  умножим на 2, получим целую часть, равную а-2.

Описаный  процесс необходимо продолжать до тех  пор, пока в результате умножения мы не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

Легко заметить, что последовательность полученных чисел совпадает с последовательностью цифр дробного двоичного числа, записаного в свернутой форме:

А2= а-1 а-2...

Алгоритм  перевода правильной десятичной дроби  в двоичную будет следующим:

1. Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробных частей произведений на основании системы (на 2) до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.
2. Записать полученные целые части произведения в прямой последовательности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичной дроби 0,75 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:

 

     В результате получаем двоичную дробь:

     А2=0, а-1 а-2 = 0,112.

     Перевод чисел из системы с основанием p в ситему с основанием q. Перевод чисел из позиционной системы с произвольным основанием p в систему с основанием q производится по алгоритмам, аналогичным рассмотренным выше.

     Рассмотрим  алгоритм первода целых чисел  на примере перевода целого десятичного  числа А10 = 42410 в шестнадцатиричную систему, то есть из системы счисления с основанием p=10 в систему счисления с основанием q=16.

     В процессе выполнения алгоритма необходимо обратить внимание, что все действия необходимо осуществлять в исходной системе счисления (в данном случае в десятичной), а полученные остатки записывать цифрами новой системы счисления (в данном случае шестнадцатиричной).

 
 

 В результате получаем шестнадцатеричное число:

А16 = а2 а1 а0 = 1А816

Рассмотрим  теперь алгоритм перевода дробных чисел  на примере перевода десятичной дроби А10 = 0,625 в восьмиричную систему, то есть из системы счисления с основанием p=10 в систему счисления с основанием q=8.

В процессе выполнения алгоритма необходимо обратить внимание, что все действия необходимо осуществлять в исходной системе счисления (в данном случае десятичной), а полученные остатки записывать цифрами новой системы счисления (в данном случае восьмиричной).

 
 

В результате получаем восьмеричную дробь:

А8 = а-1 а-2 =0,328.

Перевод чисел содержащих и целую и  дробную части, производится в два  этапа. Отдельно переводится по соответствующему алгоритму целая часть и отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть от дробной отделяется запятой.

Практика.

  Пример 1.  Перевести десятичное число 173₁₀ в восьмеричную систему счисления: