Системы счисления

Число 555 записано в привычной для нас  свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже  не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени  числа 10.

В развернутой форме записи числатакое умножение записывается в явной форме. Так, в развернутой форме записи числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:

55510 = 5∙10*2+5∙10*1+5∙10*0

Как видно из примера, число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового разряда степеней основания (в донном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Для записи десятичных дробей используются отрицательные  значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:

55510, 5510 = 5∙10*2+5∙10*1+5∙10*0+5∙10*-1+5∙10*-2.

В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А10, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так:

А10 = аn-1∙10*n-1+…+a0∙10*0+a-1∙10*-1+…+a-m∙10*-m

Коэфициенты аi в этой записи являются цифрами десятичного числа, которое в свернутой форме записывается так:

А10 = аn-1an-2…a0,a-1…a-m

Из выше приведенных формул видно, что умножение  или деление десятичного числа  на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево.

555,5510∙10=5555,510

555,5510:10=55,55510

5. Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления основание  равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 и 1.

Например, разхвернутая запись двоичного числа  может выглядеть так:

А2=1∙2*2+0∙2*1+1∙2*0+0∙2*-1+1∙2*-2

Свернутая форма этого же числа:

А2 = 101,012.

В общем  случае в двоичной системе запись числа А2, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так:

А2 = аn-1∙2*n-1+an-2∙2*n-2+…a0∙2*0+a-1∙2*-1+…+a-m∙2*-m

Коэффициенты  аi в этой записи являются цифрами (0 и 1) двоичного числа, которое в свернутой форме записывается так:

А2 = an-1an-2…a0, a-1a-2…a-m

Из выше приведенных формул видно, что умножение  или деление двоичного числа  на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево.

Например:

101,012∙2 = 1010,12

101,012:2 = 10,1012

6. Позиционные системы счисления с произвольным основанием

Возможно  использование множество позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания q с коэффициентоми, в качестве которых выступают цифры 0, 1, q-1.

Аq = аn-1∙q*n-1+an-2∙q*n-2+…a0∙q*0+a-1∙q*-1+…+a-m∙q*-m

Коэффициенты  ai в этой записи являются цифрами числа, записаного в q-ичной системе счисления.

Так, ввосьмиричной  системе основания равно восьми (q=8). Тогда записаное в свернутой форме восьмиричное число А8 = 673,28 в развернутой форме будет иметь вид:

А8 = 6∙8*2+7∙8*1+3∙8*0+2∙8*1.

В шестнадцатиричной  системе основание равно шестнадцати (q=16), тогда записаное в свернутой форме шестнадцатиричное число А16 = 8А,F16 в развернутой форме будет иметь вид:

А16 = 8∙16*1+А∙16*0+F∙16*-1

Если  выразить шестнадцатиричные цифры  через их десятичные значения (А=10, F=15), то запись числа примет вид:

А16 = 8∙16*1+10∙16*0+15∙16*-1 

1. Выпишите числа от 100 до 110 в римской системе счисления.

2. Запишите числа 32 и 444 в римской системе счисления

Выполните действие (XXII – V) + XX : V) и запишите результат римскими цифрами.

3. Укажите числа, записанные с ошибками 1237, 30054, 12ААС0920, 1454767.

4. Выпишите первые восемь натуральных чисел для систем счисления с основанием 10, 2, 3, 4, 5, 6.

Подводя итог:

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от ее положения в записи числа.

В позиционных системах счисления количественное значение цифры не зависит от ее позиции (разряда) в записи числа.

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

В системе счисления с произвольным основанием запись числа выглядит следующим образом:

Аq = аn-1*qn-1 +…+a0*q0+ a-1*q-1 +…+a-m*q-m.

Домашнее задание.

Знать основные определения. Учебник “Информатика и информационные технологии 10–11”, Н.Угринович, стр. 92, задания 2.6, 2.7, 2.8. 
 

Урок №2 Перевод чисел в позиционных системах счисления.

Тема: 2.1 Перевод чисел в десятичную систему счисления

Цель: Сформировать у учащихся навыки и умения перевода чисел в десятичную систему счисления.

Требования  к знаниям и умениям:

Учащийся  должен знать:

- развернутую  форму записи числа.

Учащийся  должен уметь:

- переводить  числа из любой системы счисления в десятичную.

Ход урока:

Теоритическая часть:

Преобразование  чисел, представленных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах счисления, в десятичную выполнить довольно легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме  и вычислить его значение.

Перевод числа из двоичной систиемы в десятичную. Возьмем любое двоичное число, например 10, 112. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

10, 112=1∙2*1+0∙2*0+1∙2*-1+1∙2*-2=1∙2+0∙1+1∙1/2+1∙1/4=2,7510

Перевод чисел из восьмиричной системы в десятичную. Возьмем любое восьмеричное число, например 67,58. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

67,58= 6∙8*1+7∙8+5∙8*-1 = 6∙8+7∙1+5∙1/8=55,62510.

Перевод чисел из шестнадцатиричной системы  в десятичную. Возьмем любое шестнадцатиричное число, например 19F16. Запишем его в развернутой форме (при этом необходимо помнить, что шеснадцатиричная цифра F соответствует десятичному числу 15) и произведем вычисления:

19F16 = 1∙16*2+9∙16*1+F∙16*0=1∙256+9∙16+15∙1 = 41510

Практика:

Пример 1. Переведём число 10011₂ в десятичную систему счисления:

1. Запишем число  в развёрнутой форме: 10011₂=1*2⁴+0*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰

2. Найдём сумму  ряда: 2⁴+2¹+2⁰ = 16+2+1 = =19₁₀

Ответ: 10011₂ = 19₁₀

Пример 2. Переведём число 0,110₂ в десятичную систему счисления:

1. Запишем число  в развёрнутой форме: 0,110₂=1*2^-1+1*2^-2+0*2^-3

2. Найдём сумму  ряда: 2^-1+2^-2 = 0,5+ 0,25= =0,75₁₀

Ответ: 0,1102 = 0,7510

Пример 3. Переведём число 101,102 в десятичную систему счисления:

1. Запишем  число в развёрнутой форме: 101,102=1*22+0*21+1*20+1*2-1+0*2-2

2. Найдём  сумму ряда: 22+21+20 +2-1 =4+2+1+ +0,5= 7,510

Ответ: 0,1102 = 7,510

Пример 4. Переведем восьмеричное число 2357 в десятичное. В этом числе 4 цифры и 4 разряда (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 8:

23578 = (2·83)+(3·82)+(5·81)+(7·80) = 2·512 + 3·64 + 5·8 + 7·1 = 126310

Пример 5. Например, требуется перевести шестнадцатеричное число F45ED23C в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (помним, что разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

F45ED23C₁₆ = (15·16⁷)+(4·16⁶)+(5·16⁵)+(14·16⁴)+(13·16³)+(2·16²)+(3·16¹)+(12·16⁰) = 4099854908₁₀

Контрольные вопросы 

Решить  задачи для закрепления изученного материала

1. Перевести в десятичную систему следующие числа: 1012, 1102, 1112, 78, 118, 228, 1А16, BF16, 9C16.
2. Провести проверку выполнения задания 1 с помощью электронного калькулятора NumLock Calculator.