Лекции по "Экономике"

     F₃ = 11,05*30+29,17*24+11,67*75+19*2+41*30=3174,83 р.

       Поскольку во всех клетках эти суммы ниже величин элементов, следовательно, получен оптимальный план загрузки оборудования, который обеспечивает минимальные суммарные издержки производства в размере 3174,83 р.

2.3 Задача 3 – Задача об ассортименте выпускаемой продукции 

       Задача  состоит в определении наиболее оптимального выпуска каждого вида продукции (х₁, х₂, х₃) и максимизирующего общую сумму прибыли.

 

       Составим  неравенства:

       

     Общая сумма прибыли:

     F =65 х₁ + 70 х₂ + 68 х₃ = max.                                                                             

       В неравенствах коэффициенты при неизвестных  означают удельные нормы расхода  основных видов сырья, т. е. а_{i j} а постоянные величины правых частей неравенств - общие запасы сырья, т. е. bi. Коэффициенты в уравнении целевой функции означают уровни прибыли на 1 т выпускаемой продукции, т. е. c_j.

       Чтобы решить задачу симплексным методом, необходимо исходные неравенства преобразовать  в систему эквивалентных равенств. Все неравенства предусматривают ограничения по запасам сырья, означающие, что сырья должно быть израсходовано не более чем имеется в наличии. Такие ограничения называются ограничениями сверху.

       Дополнительные  неизвестные рассматриваются как фиктивные продукты, имеющие нулевые уровни прибыли, и обозначаются неизвестным х с соответствующими подстрочными индексами х₄, х₅, х₆.

       Система симплексных уравнений примет следующий  вид:

         Целевая функция

       F =65 х₁ + 70 х₂ + 68 х₃ + 0 х₄ + 0 х₅ + 0 х₆ → max.

       Полученные  уравнения называются симплексными. Они выражают условия и цель решения  задачи.

     При решении задач симплексным методом  результаты расчетов записываются в  так называемую симплексную таблицу, которая состоит из четырех основных частей: верхушки, корпуса, основания и целевой строки:

       Симплексная таблица и порядок  ее заполнения. При решении задач симплексным методом результаты расчетов записываются в так называемую симплексную таблицу, которая состоит из четырех основных частей: верхушки, корпуса, основания и целевой строки (табл. 3.1).

         В верхушке таблицы записываются, коэффициенты при неизвестных в уравнении целевой функции (уровни прибыли) и соответствующие им неизвестные, которые обозначают номера столбцов. Коэффициенты при неизвестных в уравнении целевой функции записываются только в исходной таблице, в последующих таблицах они могут быть опущены. Корпус таблицы состоит из строк, в которых записываются постоянные величины уравнений и коэффициенты при неизвестных. Число строк в корпусе таблицы соответствует числу ограничений (в нашем случае их будет 3).

       Основание таблицы имеет два столбца. Первый из них отводится под показатели критерия оптимальности (коэффициентов при неизвестных в уравнении целевой функции), второй — под запись соответствующих им неизвестных. В первой по счету таблице в этих столбцах записываются дополнительные неизвестные с соответствующими им нулевыми уровнями прибыли. В последующих таблицах в этих столбцах будут записываться неизвестные с соответствующими показателями критерия оптимальности, (уровнями прибыли), вводимые в программу выпуска.

       Целевая строка показывает, какой вид продукции  надо включить в план, а также  позволяет видеть, достигнуто ли оптимальное решение, а если нет, то каким образом его можно получить.

       После преобразования исходных ограничительных  неравенств в симплексных уравнениях и построения симплексной таблицы все коэффициенты при неизвестных и постоянные величины в таблице размещаются в таком же порядке, в каком они записаны в системе уравнений.

                                                                                                                            

 

       В столбце р₀ (подстрочный индекс показывает, что это исходная таблица) записываются дополнительные неизвестные х₄, х₅ , х₆ , а в столбце c_j — соответствующие им коэффициенты в уравнении целевой функции, равные нулю. Это означает, что на данном этапе решения задачи в программу включен выпуск только фиктивных продуктов.

     Столбец х₀ называется итоговым. В нем записываются свободные величины, значения которых в симплексных таблицах изменяются в процессе вычислений. Показатели столбца указывают количество фиктивных продуктов, которое может быть выпущено при реализации плана.

       При введении в программу выпуска  реальных видов продуктов показатели столбца , x₀ отражают количество продукции, включенное в план выпуска.

     Целевая строка заполняется данными, получаемыми  расчетным путем. При расчете коэффициенты при неизвестных каждого столбца умножаются на соответствующие величины столбца gj (уровни прибыли) и полученные произведения суммируются. Из полученной по столбцу суммы вычитается уровень прибыли этого столбца, записанной в верхушке таблицы.

       Если  сумму произведений коэффициентов  при неизвестных a_{i j} (нормы расхода) на величины столбца с_j (уровни прибыли) обозначить через zj, тогда величина, записываемая в целевой строке по j-му столбцу, будет равна разности z_j - c_j. Это выражение записывается в целевой строке.

       Подготовка  элементов таблицы  к преобразованию. Исходная таблица является некоторым вариантом плана, в котором предусмотрен выпуск фиктивных продуктов, обеспечивающий нулевую прибыль. Возникает вопрос, нельзя ли получить более выгодный план, заменив выпуск фиктивных продуктов выпуском реальных продуктов.

       Наличие в целевой строке отрицательных чисел свидетельствует о том, что улучшение плана возможно.

       С выбора продукта, который должен быть включён в программу выпуска, начинается решение всех задач симплексным  методом. Для включения в план всегда выбирается тот продукт, который имеет наибольшую абсолютную величину прибыли. Для включения в программу выбирают продукт, имеющий наибольшую прибыль. Столбец, в котором эта прибыль находится, выделяют. Выделенный в таблице столбец с наибольшей прибылью называется ключевым.

       Элементы  столбца х₀ делятся на соответствующие коэффициенты ключевого столбца. Полученные от деления результаты сопоставляются между собой и выбирается наименьший из них. Строка, имеющая наименьший результат от деления, принимается за ключевую. Ключевая строка так же, как и ключевой столбец, выделяется.

       Элемент (коэффициент), находящийся на пересечении  ключевого столбца и ключевой строки, называется ключевым. У нас ключевым элементом является коэффициент 0,3.

       Преобразование  элементов симплексной  таблицы. После определения ключевых столбца и строки показатели плана по симплексному алгоритму преобразуются в новый вариант плана, для которого строится новая симплексная таблица.

         В новую таблицу из предыдущей  первоначально записывается ключевая строка. Она занимает то же самое место, но ее показатели должны быть преобразованы. Показатели ключевой строки преобразуются путем деления каждого ее элемента на ключевой элемент.

       Последовательность  преобразования элементов   итогового   столбца. Элемент итогового столбца, находящийся в ключевой строке, умножается на элемент соответствующей строки, находящийся в ключевом столбце, и полученное произведение делится на ключевой элемент.  Результат деления вычитается из старого значения элемента, а полученная   разность и есть новое значение элемента, которое записывается в новую таблицу.                                    

       Общее правило можно  выразить так:

       1. Для любого преобразуемого элемента в его столбце нужно найти элемент ключевой строки, а в его строке — элемент ключевого столбца.

       2. Найденные элементы ключевой строки и ключевого столбца перемножаются и полученное произведение делится на ключевой элемент.

       3. Частное от деления вычитается из значения элемента, которое он имел до преобразования.

       4. Полученный после вычитания результат является преобразованным элементом и записывается в новой таблице в том же месте.

       Правила преобразования элементов ключевой строки и всех остальных строк  можно представить так:

       1) Преобразованные           Старые элементы ключевой строки

       элементы  ключевой     =   _________________________________

       строки                                               Ключевой элемент 

                                                                        Соответствующие       Соответствующие