Лекции по "Экономике"

“Динамическое программирование и  его использование  при решении экономических  задач”.

1. Динамическое  программирование, его сущность  и области применения.

2. Использование  динамического программирования  для решения задач совершенствования  технической политики на предприятии. 

                  1. Рассмотренные ранее задачи относятся к статическим линейным задачам, т.к. не предполагают изменения рассматриваемых параметров во времени, а результаты полученных решений только констатируют факт изменения показателя по причинам, которые, как правило, в модели отсутствуют. Причем все неизвестные, рассмотренные в предыдущих задачах, являются линейными, т.е. используются в задачах в степени =1. На практике же очень часто наблюдается изменение различных экономических характеристик, обусловленное инфляционными и другими техническими и организационными причинами, т.е. рассматриваемые экономические параметры имеют определенную динамику изменения. Такие динамические процессы не могут быть рассмотрены изученными ранее статическими методами оптимизации. Для их изучения и анализа необходимо использовать специальные методы, одним из которых является динамическое программирование.

              Динамическое программирование  применяется для отыскания оптимальных  решений в условиях многоэтапных развивающихся производственных процессов.

     Динамическое  программирование - раздел математического программирования, приспособленный к оптимизации задач, в которых процесс принятия решений представляется в виде отдельных этапов (шагов).

     Трудность анализа развивающихся процессов, на каждом из этапов которого может применяться то или иное решение, состоит в следующем:

              1). При планировании деятельности  на очередном этапе необходимо  не только учитывать то состояние  процесса, которое сложилось к данному моменту, но и предвидеть последствия, к которым приведет принятое решение на дальнейших этапах.

             2). В большинстве практических  многоэтапных задач сама запись  выражения целевой функции, не  говоря о решении задачи, является  чрезвычайно затруднительной.

              3). По мере увеличения числа  рассматриваемых этапов, а следовательно  и числа переменных, сложность  задачи резко возрастает.

     Решение многоэтапных задач осуществляется на основе принципа оптимальности - важнейшего принципа теории динамического программирования. Принцип оптимальности принято характеризовать формулировкой, которая принадлежит Р. Беллману: «Оптимальное поведение обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение в начальный момент, последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения».

     Итак, задачи динамического программирования отражают многоэтапные процессы. Смысл  решения этих задач состоит в  выборе на каждом этапе такого значения переменной Хг, которое обеспечивало бы экстремальное (наибольшее или наименьшее) значение целевой функции. При этом значения переменных определяются последовательно этап за этапом, причем в противоположном направлении относительно рассматриваемых периодов.

периодов. 

             2. Осуществление технической политики на предприятии в настоящее время является очень сложной экономической задачей. Эта сложность определяется тем, что основные фонды предприятия в настоящее время изношены практически на 80-90%, свободных финансовых ресурсов на предприятиях не хватает для своевременного обновления основных средств. Теория динамического программирования позволяет решать задачи совершенствования технической политики в данных непростых условиях и получать значительный экономический эффект. Одной из основных задач технической политики предприятия является задача о замене оборудования, которая формулируется следующим образом: предприятие располагает некоторой суммой финансовых ресурсов в определенном периоде - &. С_к - стоимость одной единицы оборудования или комплекта. Приобретенное оборудование сразу включается в производственную эксплуатацию и используется в производственном процессе. Использование единицы оборудования обеспечивает за год определенную сумму прибыли - П_р. В конце каждого года (этапа планового периода) предприятие может выделить некоторую долю прибыли на приобретение дополнительного оборудования. Данная прибыль - *,. 0<=X <=4. Тогда фактически остающаяся в распоряжении предприятия прибылъ=1-х от max возможной прибыли. Ставится задача максимально планировать приобретение оборудования и, в связи с этим, расширение производства, чтобы сумма фактической прибыли за период была максимальной. Решением на каждом этапе является вывод значения параметра X , т.е. доли прибыли, отчисляемой на приобретение дополнительного оборудования.

              В зависимости от величины  планового периода определяется  количество этапов, на которых  необходимо принимать решение.  Причем необходимо соблюдать  следующие условия:

                            x       x     x      x     x  

                   0       1        2       3       4        5       6

          Обозначим через Х , Х , Х , Х , Х переменные, значение которых и определят указанные доли отчислений от прибыли на соответствующих этапах. Через n обозначим количество комплектов оборудования, внедряемых в производство на каждом из этапов соответственно. Через f обозначим фактическую прибыль, остающуюся в распоряжении предприятия после приобретения им оборудования. Тогда можно записать формальную запись основных параметров задачи применительно к каждому из рассматриваемых этапов:

         1.                             2.  

         3.                    4.      

                                      5. 

               В конце последнего этапа имеется  строго определенное значение  x , которое определяется тем, что приобретение оборудования на данном этапе с точки зрения рассматриваемого периода экономически не оправдано, т.к. отдача от данного приобретения будет получена в период выходящий за рамки рассматриваемого. Поэтому на заключительном этапе значение f будет равно:

           Исходя из этого, можно построить  математическую модель решения  данной задачи. Уравнение целевой  функции можно записать следующим  образом: 

F=

            Из данной записи видно, что целевая функция является функция 3-х переменных: х , х , х . Задача заключается в выборе таких значений указанных неизвестных, которые давали бы max суммарную прибыль от замены старого оборудования новым. В рассматриваемом примере состояние процесса начало очередного этапа полностью характеризуется 2-мя параметрами: 

1). Количеством  комплектов действующего оборудования  n ;

2). Суммарной  прибылью, накопленной к этому моменту времени f .

         Используя принцип оптимальности  в процессе расчетов и продвигаясь  от последнего этапа к предшествующему,  можно построить последовательно-оптимальную  стратегию и получить оптимальное решение.

           Обозначим через F суммарную прибыль за 1-й этап, F - за 2-й этап, F - за третий этап. Тогда к началу 4-го этапа состояния процесса характеризуются значениями F и n . Т.к. в конце 4-го этапа приобретать оборудование нецелесообразно, то суммарная прибыль может быть определена по формуле:

F= F

             Подставим   данную   формулу   в   значение   n и F и, преобразовывая формулу, получим:

             Если значение  больше, чем значение прибыли в соответствии с нашими исходными данными, то значение x принимается равным единице, если наоборот, то значение x принимается равным нулю. После подстановки значения x в соответствии с условиями, рассмотренными ранее, в формулу подставляется значение других этапов.

            Данный итеративный процесс продолжается  до получения общего результата  на первом этапе, что позволяет  нам сделать вывод об оптимальной  стратегии, связанной с приобретением  оборудования.