Лекции по "Экономике"

Тема№6: «ТЕОРИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ». 

          В планово-производственной практике  предприятий пищевой промышленности приходится иногда решать вопросы, когда информация, на основе которой Должны приниматься решения, носит характер неопределенности. Для решения такого типа задач может быть использована теория статистических решений, которая тесно связана с теорией игр, но имеет свои специфические особенности.

         В теории игр изучаются ситуации, в которых участвуют две конфликтующие стороны, принимающие определенные разумные решения (планы). Теория статистических решений позволяет отыскать правильное решение в таких ситуациях, когда стратегия одной из сторон может оказаться совершенно случайной.

         Рассмотрим основы теории статистических  решений на следующем примере.

         Хлебозаводу предложено организовать  выпуск нового сорта хлебобулочных изделий. Для их выпечки могут быть использованы четыре типа печей, имеющих различную суточную производительность (в т): П₁= 4, П₂ = 6,      П₃ = 8, П₄= 10.

           Себестоимость хлебобулочных изделий  при выпечке их на указанных печах различна и, следовательно, неодинаков уровень прибыли на 1 г.

      Тип печи                               суточная                                    Уровень прибыли,

                                           производительность, т                             руб. на 1 т

      П₁…………….                      4                                                    1 

       П₂…………….                      6                                                    2

       П₃…………….                      8                                                    3

       П₄…………….                    10                                                    4

         Далее установлено, что спрос  на данный вид хлебобулочных изделий в отдельные периоды составляет от 1 до 10 т.

         Составим теперь таблицу которая  будет отражать сумму получаемой предприятием прибыли (или убытков, т. е. отрицательной прибыли). При этом будем считать, что прибыль (или убытки) получается путем' сложения суммы прибыли, получаемой за реализуемую продукцию, и суммы убытков, возникающих в связи с падением спроса на продукцию.

 

            Данные таблицы позволяют выбрать  тот тип хлебопекарной печи, который для данного предприятия был бы наиболее приемлемым. Если предположить, что в предстоящий период спрос на новый сорт хлеба не будет превышать 1 т, то на хлебозаводе нужно устанавливать печь П₁, так как в этом случае убытки (сумма неполученной прибыли) будут минимальными. Если же спрос в предстоящий период будет не ниже 10 т, то целесообразно устанавливать печь П₄, которая обеспечит получение максимально возможной прибыли.

         Мы рассмотрели два крайних  случая: самый низкий и самый  высокий спрос. Если объединить эти два случая, то мы можем получить третий — средний случай, когда спрос будет составлять среднюю арифметическую величину между самым низким и самым высоким спросом. Результаты прибыли для третьего случая будут такими:

П₁(-2+4):2=1,          П₃(-18+24):2=3,

П₂(-8+12):2=2,        П₄(-32+40):2=4.  

         Из полученных данных вытекает, что для среднего случая, т. е. когда спрос на хлебобулочные изделия будет средним, экономически целесообразно устанавливать печь П₄.

         Выбрать тип печи можно и  точнее, если на основе изучения  спроса получим подробные данные о его колебании. Допустим, что спрос изучался на протяжении 20 дней. За это время были получены следующие данные: 2 дня спрос составлял 1 т, 4 дня — 2 т, 2 дня — 3 г, 3 дня — 4 т, 2 дня — 6 т, 5 дней — 8 т, 2 дня — 10 т.

          Вычислим с учетом этих данных  удельные веса каждого спроса, а затем суммы прибыли, которые будут обеспечены каждым типом печи: 

  П₁(-2)*0,1+0*0,2+3*0,1+4*0,15+4*0,1+4*0,25+4*0,1=2,4

  П₂(-8)*0,1+(-4)*0,2+0*0,1+4*0,15+12*0,25+12*0,1=4,4

  П₃(-18)*0,1+(-15)*0,2+(-6)*0,1+0*0,15+12*0,1+24*0,25+24*0,1=4,2

  П₄(-32)*0,1+(-24)*0,2+(-16)*0,1+(-8)*0,15+8*0,1+24*0,25+40*0,1=0

          Наибольшая сумма прибыли будет  получена тогда, когда мы установим печь П₂. В принятых условиях этот вариант явится оптимальным, так как обеспечивает получение максимальной суммы прибыли, при других вариантах она будет ниже, а если мы установим печь П₄, то прибыли вовсе не будет.

         Кроме рассмотренных простейших  способов выбора вариантов в условиях неопределенности, имеются другие более сложные методы, которые освещаются в специальной литературе по теории статистических решений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Тема№7: «ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ».

          С помощью математической теории  массового обслуживания решается  обширный круг задач, в которых  рассматриваются системы или процессы обслуживания. Задачи обслуживания по своему содержанию бывают самыми разнообразными и возникают в различных сферах человеческой деятельности.

           К числу важнейших количественных  характеристик задач массового обслуживания относятся: входящий поток требований на обслуживание, интенсивность потока требований, длительность обслуживания требований.

           Входящим потоком  называется порядок, в соответствии с которым в систему поступают требования (заявки) на обслуживание. В теории массового обслуживания рассматривается несколько разновидностей входящих потоков. Наибольший практический интерес представляет простейший входящий поток, при котором требования на обслуживание поступают случайно. Случайный характер поступления требований вызывает необходимость при решении задач массового обслуживания привлекать аппарат математической статистики и теории вероятности.

          Интенсивность потока  характеризуется средним числом требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени.

          Этот показатель определяется обычно на основе научного анализа, а также наблюдений и статистической обработки их результатов.

           Длительность обслуживания  — это время, необходимое на обслуживание одного требования. Она может быть постоянной и случайной величиной. В большинстве случаев длительность обслуживания различных требований является случайной величиной и называется случайным временем обслуживания. Длительность обслуживания требований зависит от множества разнообразных факторов. Например, при ремонте различных видов оборудования длительность ремонтного обслуживания зависит от вида ремонта, категории сложности ремонта, квалификации ремонтных рабочих, наличия запасных частей и т. д. Для анализа и расчета длительности обслуживания' в этих условиях необходимо использование специальных разделов математической науки или методов практического наблюдения за процессами обслуживания.

           Практический интерес представляют  задачи массового обслуживания, в которых входящий поток требований или длительность обслуживания требований (или то и другое вместе) имеют случайный характер.

           Цель решения этих задач сострит  в определении необходимого количества обслуживающих единиц системы или в определении скорости потока (или того и другого вместе).

          Задачи массового обслуживания, основные количественные характеристики которых имеют случайный характер, для аналитического решения требуют привлечения сложных разделов математики. Мы не будем останавливаться на чисто математических доказательствах ряда формул и определений, а рассмотрим расчет некоторых количественных характеристик с использованием уже готовых формул.

          В качестве примера рассмотрим  ремонтное обслуживание технологического оборудования предприятия бригадой ремонтных рабочих. Ремонтная бригада обслуживает оборудование (т. е. устраняет неисправности и т. д.) на основе поступающих требований (заявок) на обслуживание.

          Допустим нас интересует следующее: 

              1) вероятность появления очереди заданной длины при случайных потоках  требований (заявок) на ремонт.

              2) средняя длина очереди этих  требований.

         Для математического выражения указанных показателей принимаются следующие обозначения:

        п — количество требований (заявок) в очереди;

         р_п — вероятность образования очереди из п требований;

   — среднее число поступивших   на   обслуживание   требований;

        — среднее число требований, которое может быть обслужено системой            а               (пропускная способность системы) ;

       — средняя   длина   очереди,   т. е. количество   требований в ней.

          С учетом этих обозначений  вероятность образования очереди  из п требований выразится формулой: 
 

.  (1)

В выражении  дважды встречается  отношение  .

                Рассмотрим порядок его определения и физический смысл. Показатель — среднее число поступивших на обслуживание требований — является обратным по отношению к среднему интервалу времени между поступающими в систему обслуживания требованиями. Если, например, продолжительность интервала времени между двумя требованиями в среднем равна 20 мин, то среднее

число поступающих  требований в час будет .

          Показатель  — среднее число требований, которое может быть обслужено системой, — является обратным по отношению к средней длительности одного обслуживания. Например, если средняя длительность обслуживания одного требования равна 15 мин, то среднее число требований, которое может быть об- 
служено в час, будет .