Лекции по "Экономике"

Тема  №3: «Решение задач теории игр ».

1. Область  применения и основные понятия  теории игр.

2. Общая  постановка задач теории игр. 

3. Решение  игр, имеющих седловую точку.

4. Решение    игр    при    помощи    определения    смешанных стратегий. 

              1. В практической деятельности человек часто встречается с конфликтными ситуациями. Под конфликтной ситуацией понимается такая ситуация, в которой участвуют по меньшей мере 2 стороны, интересы которых частично или полностью противоположны. Общий подход к исследованию конфликтных ситуаций дает математическая теория игр. В результате ее применения участники конфликта могут получить определенные рекомендации о своих действиях, наилучшим образом согласующихся с их целями.

             Основными понятиями теории игр является понятие «игры».

Игра - это математическая модель конфликтной  ситуации, которая определяет:

- количество  игроков (в зависимости от количества  бывают игры парные и множественные);

последовательность  ходов (ходом в игре называется такой  этап, на котором каждому участнику конфликта предоставляется возможность выбора варианта действий из нескольких возможных). Ходы бывают личными и случайными. При личном выбор варианта осуществляется игроком сознательно. Случайный ход осуществляется с помощью определенного случайного механизма - жеребьевка. Для каждого случайного хода задается распределение вероятностей возможных ходов. Партией игры называется реализация игроками выборов варианта действий с первого до последнего хода. По количеству ходов в каждой партии и по числу возможностей различных выборов для игроков на каждом ходе различают игры конечные и бесконечные;

- объем  информации каждого игрока о  поведении противника. По характеру  сведений о ходе партии различают  игры с полной и неполной  информацией. Если каждый игрок при каждом личном ходе знает результаты всех предыдущих ходов, личных и случайных, сделанных в партии до этого момента им самим и его противником, то игра называется «с полной информацией».

- момент  окончания игры и платежи игроков.  Момент окончания игры определяется получением выигрыша (проигрыша) игроков. Выигрыш - это число, записанное к исходу партии, выражающее платежи игроков. Если сумма выигрышей всех игроков в каждой партии =0, то игру называют «игра с нулевой суммой». 

По  сложности решения игры подразделяются на:

-  конечные парные игры с нулевой  суммой;

-  бесконечные парные игры с  нулевой суммой;

-  игры с ненулевой суммой;

-  игры нескольких участников, интересы  которых не прямо

-  противоположны.

                Математический аппарат теории игр основан на решении конечных парных игр с ненулевой суммой. 

                  2. Одним из составных понятий  в теории игр является понятие  стратегии. Стратегией игрока  называют совокупность правил, однозначно  определяющих выбор игрока, линии поведения при каждом личном ходе в зависимости от конкретной ситуации.

              В конечной игре число различных  стратегий каждого игрока конечно.  Если каждый участник игры  выбрал свою стратегию, то эти  выборы однозначно определяют  поведение сторон в игре. Если нет случайных ходов, то однозначно определяются и выигрыши игроков. Если имеются случайные ходы, то выигрыши при фиксированных стратегиях определяются неоднозначно, хотя можно определить их среднее значение. Значения выигрышей служат показателями качества различных стратегий. При оценке качества тех или иных стратегий используются значения среднего выигрыша. Задача теории игр заключается в отыскании оптимальных стратегий игроков; таких правил, применение которых позволяет наилучшим образом согласовать ожидаемый результат с усилиями каждого игрока. Решением этой задачи называется решение игры. Для постановки и решения задачи теории игр вводятся следующие обозначения:

А, В - участники игры;

A_m(i=l, ...,m), т.е.  - сторона А имеет  m  стратегий;

B_n(i=l, ...,n), т.е.  - сторона В имеет n  стратегий;

m*n - размерность игры;

            - выигрыш игрока А при выборе им стратегии A_i , a противником – стратегии . Т.к. рассматриваются парные игры с нулевой суммой, то в этом случае сторона В имеет выигрыш C .

         При выборе своей стратегии  игрок А стремится максимизировать  свой выигрыш, поэтому его называют  максимизирующим игроком. Игрок В также стремится максимизировать свой выигрыш, что равносильно минимизации выигрыша игрока А. Поэтому его называют минимизирующим игроком. Цели обоих игроков формулируются по их отношению к выигрышу  игрока  А.    Формальная   запись   конфликтной  ситуации производится в виде следующей матрицы: 

 

            Нахождение оптимальной стратегии  и соответствующего значения  выигрыша «цены игры» называется  решением задачи. 

              3. Различают игры, имеющие седловую  точку и не имеющие. Игры, в  которых решение достигается  при выборе каждым игроком одной из своих стратегий, называются играми с седловой точкой. Седловая точка - это элемент матрицы игры на пересечении строки и столбца, соответствующих оптимальной стратегии. Задачи с седловой точкой решаются с использованием принципов minmax и maxmin по следующей схеме: 
 
 

  

            Для стороны А определяют по  каждой строке проигрыши, являющиеся  максимальными в данной строке. Для стороны В определяются минимальные выигрыши. Из максимальных проигрышей стороны А определяется минимальное значение. Это значение даст нам minmax. Из минимальных выигрышей стороны В выбирается максимальное значение, которое даст нам maxmin. Если эти значения совпадают, то данное значение находится на пересечении соответствующей строки и столбца матрицы, которые дают нам цену игры, удовлетворяющую обе  стороны. 

                  4. Если игровая матрица не имеет  седловой точки, то решение  игры находится в области смешанных стратегий. Для этого вводятся следующие обозначения:

        Xj(i=l...n)   -  это время,   в течение которого   сторона А использует стратегию тогда

     

      - время, в течение которого сторона В использует стратегию

     

            Тогда для  стороны  А   можно  записать  по  каждой  строке значение цены игры  по формуле:

               

                

                    Решая две данные системы уравнений,  находят решение игры в области  смешанных стратегий.

            Особый случай составляет решение игровой ситуации, в которой имеются  отрицательные значения Х и Y.

            X                              

            Y                             

                                                                       В таком случае решение  задачи 

                                                                                                                       необходимо продолжить

                Если х и у имеют отрицательные  знаки, необходимо продолжить  нахождение оптимальных стратегий, участвующих в конфликте сторон, т.к. с экономической точки зрения отрицательных значений х и у быть не может. В связи с этим в первоначальной игровой матрице вычеркивают стратегию, имеющую отрицательный знак в оптимальном решении. После этого строят новую систему уравнений, не содержащих данного значения X при условии, что полученная цена игры не изменяется. В результате этого находят оптимальное решение задачи и оптимальное значение стратегий для каждой участвующей в конфликте стороны. 
 
 
 
 
 
 

Тема  №4:  «Постановка и решение задач управления запасами»

1. Экономические параметры, характеризующие запасы товароматериальных ценностей,

2. Математическое моделирование управления  процессами регулирования запасов сырья и материалов.

3.    Математическое   моделирование   управления   запасами

готовой продукции, 

               1. Под запасами товароматериальных  ценностей понимают определенное  количество каждого вида материальных  ресурсов, которое должно находиться  на предприятии в его отдельных структурных подразделениях с целью обеспечения непрерывного хода производства продукции и ее реализации. Наличие запасов является необходимой объективной причиной, которая способствует осуществлению непрерывного процесса оборота капитала и, получению в связи с этим, определенных экономических результатов деятельности. Известно, что оборот капитала обеспечивается на 3-х стадиях:

- приобретение  и  содержание   товароматериальных ценностей;

- стадия  производственного потребления товароматериальных ценностей;

- реализация  произведенной продукции.

           Важность ускорения оборота особенно  актуальна в настоящее время,  т.к. ранее существовавшая система  снабжения и сбыта разрушена,  и в настоящее время каждое  предприятие зависит от своевременности  поставки и своевременной реализации исходных сырья и готовой продукции.

           В связи с этим существует  проблема, связанная с определением  такого уровня запасов товароматериальных  ценностей, которые бы позволяли  непрерывно осуществлять выпуск  продукции и, в то же время, не характеризовались бы значительными финансовыми ресурсами. В основе управления запасами лежат определенные экономические показатели, связанные с наличием, пополнением и использованием запасов товароматериальных ценностей. Экономические характеристики, так или иначе связанные с запасами, можно условно разделить на ряд затрат:

              1). Затраты связанные с хранением запасов товароматериальных ценностей. Данные затраты прямо пропорционально зависят от количества хранимых запасов и включают в себя издержки, связанные с выплатой заработной платы работникам склада, с использованием складских помещений, оборудования, издержки, связанные с потерей и порчей хранимых ценностей. Данные затраты   возрастают  в  расчете  на  единицу  хранимых  запасов   в зависимости от срока их хранения.