Контрольная работа по «Математической экономике»

 

     Проверим  задачу на сбалансированность

      =100+70+80=250

      =47+126+55=228

      > , значит транспортная задача несбалансированна. Введем фиктивного потребителя - =22, а стоимость на перевозку этому потребителю от всех поставщиков равно 0. Тогда = , задача сводится к сбалансированной.

     Построим  таблицу перевозок:

     В правом верхнем углу каждой клетки поместим стоимость перевозки Cij от поставщика i и потребителя j.

     Построим  начальный опорный план методом  наименьших затрат. Будем заполнять  клетки по мере увеличения стоимости  перевозки. Это клетка (2;1), C21=2. Даем в эту клетку поставку 47, оставшуюся часть запаса поставщика 2, равную 70-47=23, поместим в клетку (2;3), т.к. C23=3.

     Стоимость перевозки в клетке (3;2) C32=3, даем в эту клетку поставку от поставщика 3 в объеме 80- весь запас поставщика. Недостающую часть (126-80=46) для потребителя 2 добавим от поставщика 1 в клетку (1;2). Для потребителя 3 оставшуюся часть потребности 55-23=32 дадим от  поставщика 1 в клетку (1;3), т.к. C13=5.

     Оставшуюся  часть запаса поставщика 1 в объеме 100-46-32=22 поместим в клетку (1;4) фиктивного потребителя.

     Получим начальный опорный план. Проверим, является ли этот план невырожденным  m+n-1=4+3-1=6, число заполненных клеток также 6. Значит план невырожденный.

     Проверим  план на оптимальность. Введем потенциалы Ui и Vj так, чтобы Ui + Vj = Cij – стоимость перевозки для заполненных клеток.

     Положим V1=0, тогда U2=2, т.к. C21=2

     C23=3, тогда V3=3-2=1

     C13=5, тогда U1=5-1=4

     C32=3, тогда U3=3-1=2

     C12=5, тогда V2=5-4=1

     C14=0, тогда V4=0-4=-4

     Подсчитаем  фиктивные стоимости ij для незаполненных клеток.

      11= 0+4=4;   22= 1+2=3;   24=-4+2=-2

      31= 0+2=2;   33= 1+2=3;   34= -4+2=-2

     Для всех незаполненных клеток ij < Cij, значит полученный опорный план оптимальный. Найдем общие затраты при этом оптимальном плане:

      = 46*5+32*5+22*0+47*2+23*3+80*3=793

     Оптимальный план перевозок

       
 

     КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6. Модели систем массового обслуживания. Сетевые модели планирования и управления.

     Задача 1. Сколько автомобилей следует  иметь на станции скорой помощи, если:

      - в среднем в час поступает  10 заявок (вызовов);

      - среднее продолжительность обслуживания  одной заявки 1час 20 минут;

      - среднее время ожидания (время  от момента вызова до момента  выезда бригады) не должно превышать  5 минут.

     Решение:

     λ=10 заявок

     μ=60/80=0.75

     Y₃=0,08 часа

     Y₄=1,3 часа

     Y₃=Y₁/ λ   Y₁=10*0,08=0,8

     Y₄=Y₂/ λ   Y₂=1.3*10=13

     Y₂=Y₁+ ρ ρ=13-0.8=12.2

     ρ= λ/μx      μx=10/12.2=0.82   

     x=0.82/0.75=1.09

     Задача 2. В проектируемый аэропорт будет  поступать поток самолетов, в  среднем 20 самолетов в час. Одна взлетно-посадочная полоса в среднем принимает самолет за 2 минуты. Каково наименьшее количество полос, при котором среднее время ожидания в очереди не превысит 3 минуты ?

     Каково  наименьшее количество полос, при котором  вероятность того, что окажутся занятыми все полосы не превысит 0.05?

     Решение:

     λ=20

     μ=30

     Y₃=0.05 часа

     Y₄=0.03 часа

     Y₃=Y₁/ λ   Y₁=0.05*20=1

     Y₄=Y₂/ λ   Y₂=0.03*20=0.6

     Y₂=Y₁+ ρ ρ=0.6-1=-0.4

     ρ= λ/μx      μx=20/-0.4=50   

     x=50/30=1.6

     Задача 3 В небольшом магазине 1 отдел (одна касса) и два продавца. В среднем  в магазин приходит 100 покупателей в час. Средняя продолжительность обслуживания покупателя – 1 минута.

     Предлагается  сделать 2 отдела (две кассы), в каждом полный ассортимент товаров. При  этом средняя продолжительность  обслуживания покупателя снизится до 50 секунд. Снизится ли при этом (и насколько) среднее время ожидания в очереди ?

     Решение:

     λ=100

     μ=60

     Y₁=0.017

     x=1

     Среднее  время нахождения в очереди для  одного отдела=0,00379

     Среднее  время нахождения в очереди для  двух отделов=0,0017507

     Среднее время ожидания в очереди снизится на=0,00379-0,0017507=0,0020393

     Задача 4. В случайные моменты времени  возникают задачи, требующие решения. В среднем возникает 2 такого рода задачи в месяц. Специалист высокой  квалификации способен решить в среднем 3 задачи в месяц. Его заработная плата составляет 1000 $ в месяц.

     Потери  от нерешенных задач составляют 2000 $ в месяц (потери считаются с момента  возникновения задачи до момента  ее решения). Специалист средней квалификации способен решить одну задачу в месяц. Сколькими специалистами средней  квалификации можно заменить одного специалиста высокой квалификации и какую зарплату им установить, чтобы суммарные затраты фирмы (потери от нерешенных задач + зарплата специалистов) остались на прежнем уровне ?

     Решение:

     Фирме может заменить одного специалиста  высокой квалификации на  3 специалиста средней квалификации и установить им зарплату в 330 $.

     Задача 5. Проектируется участок по обработке  деталей, состоящий из 12 однотипных станков.

     Режим работы -две смены по 8 часов.  Производительность станка – 10 деталей в час (при  условии непрерывной работы станка). Каждый станок требует наладки (регулировки)  в среднем два раза в час.  Продолжительность одной наладки – 5 минут. Предполагается принять на работу 6 наладчиков (по три в каждую смену) и закрепить за каждым из них 4 станка. План производства на сутки составляет 1550 штук. Справится ли участок с планом? Если нет, то что следует предпринять?

     Задача 6.Исходные данные для построения сетевого графика заданы таблицей:

     Рассчитать  сетевой график.