Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию 

ГОУВПО  «Алтайский государственный технический  университет

им. И.И. Ползунова» 
 
 
 
 
 

Контрольная работа 

По дисциплине: «Математическая экономика» 

Вариант №4 
 
 
 
 
 

Студент группы 

Преподаватель:                                                         
 
 
 
 
 
 

2010 г. 
 

     КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. Построение математических моделей  экономических процессов

     Задача 1. Фирма реализует автомобили двумя  способами: через магазин и через торговых агентов. При реализации х₁ автомобилей через магазин расходы на реализацию составляют 4x₁ + x₁² усл. ед., а при продаже x₂ автомобилей через торговых агентов расходы составляют х₂² усл. ед. Найти оптимальный способ реализации автомобилей, минимизирующий суммарные расходы, если общее число предназначенных для продажи автомобилей составляет 200 штук.

     Решение:

     4x₁+x₁² – I магазин

     X₂² – II агент

     F(x₁; x₂)= 4x₁+x₁²+x₂² → min (целевая функция, при том что

x₁ – количество автомобилей проданных через магазин                                                                                                                                x₂ – количество автомобилей проданных через агентов

x₁ и x₂ – управляющие параметры

x₁ + x₂ =200     

           x₁>=0; x₂>=0 система ограничений

     Попробуем найти решение этой математической модели.

     из  равенства х1+х2=200 выразим х2=200-х1 и подставим в целевую функцию.

     F=4х1+х1²+(200-х1)²

     F=4х1+х1²+40000-400х1+х1²

     Для того чтобы найти минимальное  значение функции F , найдем ее производную.

     F’=4+2х1-400+2х1=4х1-396

     Функция F достигает минимального значения когда F’=0, т.е. 4х1-396=0. Значит х1=99.

     А отсюда х2=101.

     Ответ: х1=99, х2=101.

     Задача 2. Каких линейных размеров должен быть лист бумаги площадью 600 см², чтобы на нем поместилось максимальное количество текста, при условии, что поля сверху, снизу и слева – 2 см, а поле справа – 0.5 см ?

     Решение:

        X₁ - ширина

              X₂ – высота

     x₁ * x₂ = 600

           (x₁-(2+0,5)) * (x₂-(2+2)) → max

           F(x) = (x₁-2,5) * (x₂-4) → max

     Выразим из равенства х1*х2=600 х2=600/х1 и подставим в целевую функцию.

     F=(х1-2,5)*(600/х1-4)=600-1500/х1-4х1+10=(610х1-1500-4х1²)/х1

     Для нахождения максимума функции найдем ее производную:

     F’=((610-8х1)*х1-(610х1-1500-4х1²))/х1²=(610х1-8х1²-610х1+1500+4х1²)/х1²=(1500-4х1²)/х1²

     Найдем  значения х1 при которых F”=0

     х1=± /2 , т.е. х1=±5

     Найдем  значение х1 при котором функция  достигает максимума. 

     

     Таким образом, целевая функция достигает  максимума в х=5 или х1=19,36, значит х2=30,98. Можно округлить и получаться размеры листа 20х30

     Ответ: размеры листа 20х30 

     Задача 3. Каких размеров должна быть цилиндрическая бочка (без крышки) объемом 100 литров, чтобы ее вес был минимальным ?

     Решение:

     100 литров = 10000 см³

     Чем меньше материала пошло на бочку, тем меньше ее вес.

     Объем бочки: V = h*S_осн.

           S = 2πR²

           V = 6,28h*R²

           X₁=h  x₂=R  - управляющие параметры

     ^{Боковая сторона = длина окружности крышки*высоту бочки}

Длина окружности L = 2πR

           Расход на материал: S = h*L+ 2πR²

           F(x) = (6,28*x₁*x₂+6,28x₂²) х²→ min

           6,28x₁*x₂²=10000

           X₁, x₂ >=0

     Выразим х1 через х2: х1=10000/(6,28*х2²) и подставим в целевую функцию

     F=6,28*10000/(6,28*х2²)*х2+6,28*х2²=10000/х2+6,28х2²=(10000+6,28х2³)/х2

     Для нахождения минимума функции найдем производную

     F’=(6,28*3х2²*х2-(10000+6,28*х2³))/х2²=(2*6,28х2³-10000)/х2²

     Найдем  значения х2 при которых F’=0

     х2= =9,268 см

     В этой точке функция достигает  своего минимума.

     Тогда х1=10000/(6,28*9,268²)=18,54 см

     Ответ: минимальный вес бочки при  высоте 9,268 см и радиусе основания 18,54 см 
 

     Задача 4. Каких линейных размеров должен быть бак для мусора (без крышки) объемом 1 м³, чтобы его вес был минимальным?

     Решение:

     Объем V=abc, где a-ширина b-длина c-высота

     a и b равны

     Вес минимален при минимальном расходе  материала

     Расход  материала:

     Основание S=a²

     Боковая площадь Sб=4ac

     Модель:

     F=4ac+a² → min

     при ограничениях:

     a²c=1

     a, c ≥0

     Выразим с через а с=1/а² и подставим в целевую функцию

     F=4а/а²+а²=4/а+а²=(4+а³)/а

     Найдем  производную функции

     F’=(3а²*а-4-а³)/а²=(2а³-4)/а²

     Найдем  значения а, при которых производная  равна 0.

     а= =1,26 м

     В этой точке функция достигает  своего минимума.

     Тогда с=1/1,26²=0,63 м

     Ответ: Ширина основания 1,26 м, высота 0,63 м

     Задача 5. Каких линейных размеров должен быть бак для мусора (с крышкой) объемом 1 м³, чтобы его вес был минимальным?

     Решение:

     Объем V=abc, где a-ширина b-длина c-высота

     a и b равны

     Вес минимален при минимальном расходе  материала

     Расход  материала:

     Основание S=a²

     Боковая площадь Sб=4ac

     Модель:

     F=4ac+2a² → min

     при ограничениях:

     a²c=1

     a, c ≥0

     Выразим с через а с=1/а² и подставим в целевую функцию

     F=4а/а²+2а²=4/а+2а²=(4+2а³)/а

     Найдем  производную функции

     F’=(6а²*а-4-2а³)/а²=(4а³-4)/а²

     Найдем  значения а, при которых производная  равна 0.

     а= =1 м

     В этой точке функция достигает  своего минимума.

     Тогда с=1/1=1 м

     Ответ: Ширина основания 1м, высота 1 м

     Задача 6. Полицейская служба небольшого города работает следующим образом: Все время суток поделено на периоды : 0 – 4 ;  4 – 8 ;  8 – 12 ;  12 – 16 ;  16 – 20 ;  20 – 24  ( часов ).

     Продолжительность дежурства полицейского – 8 часов. Заступать  на службу он может в

     0, 4, 8, 12, 16, 20 часов.  Потребность полицейских  для каждого периода задана  таблицей

     Составить оптимальный график выхода полицейских  на дежурство.

     Решение:

     х1 – количество заступивших в 0 часов

     х2 – количество заступивших в 4 часа

     х3 – количество заступивших в 8 часов

     х4 – количество заступивших в 12 часов

     х5 – количество заступивших в 16 часов

     х6 – количество заступивших в 20 часов

     Ограничения:

      х6+х1=12

     х1+х2=12

     х2+х3=15

     х3+х4=15

     х4+х5=24

     х5+х6=30

     х1, х2, х3, х4, х5, х6 ≥0

     Целевая функция:

     F=х1+х2+х3+х4+х5+х6→min

     Выразим все переменные через х1

     х6=12-х1

     х5=30-х6=30-12+х1=18+х1

     х4=24-х5=24-18-х1=6-х1

     х3=15-х4=15-6+х1=9+х1

     х2=15-х3=15-9-х1=6-х1

     Задача 7. На предприятии выпускается два изделия И1 и И2. Изделия состоят из деталей: И1 состоит из 2 штук детали Д1, 4-х штук детали Д2 и 2-х штук детали Д3, а изделие И2 состоит из 4 штук детали Д1,

     3-х  штук детали Д2 и 3-х штук  детали Д3. Для изготовления деталей  используются ресурсы Р1 и Р2. Для изготовления 1 штуки детали Д1 требуется 12 единиц ресурса Р1 и 15 единиц ресурса Р2, для изготовления 1 штуки детали Д2 требуется 8 единиц ресурса Р1 и 10 единиц ресурса Р2, а для изготовления 1 штуки детали Д3 требуется 5 единиц ресурса Р1 и 7 единиц ресурса Р2. В плановом периоде предприятие располагает 12500 ед. ресурса Р1 и 17100 ед. ресурса Р2. Прибыль от реализации одного изделия И1 составляет 17 ед., а от реализации одного изделия И2 – 35 ед.