Контрольная работа по «Математической экономике»

                        5X1 - X2 ≤ 45

                             X1 - X2 ≤ 6 

     в) Пересечение всех полуплоскостей дает область допустимых решений, определенную ограничениями задачи.

     2. Приняв F(Х) = 0, получим уравнение целевой функции при F(Х) = 0:

2X1 – 3X2  =0, построим её график по двум точкам (0;0) и (3;2).

3. Найдем  grad F: F={2;-3}. Этот вектор указывает направление увеличения F(Х).

     4. Перемещаем F(Х) = 0 в направлении вектора grad F, чтобы она касалась области допустимых решений в её крайней точке. Таких точек оказалось множество: отрезок [AB] прямой. Взяв любую точку отрезка AB (например B(3;0)), получим min F(Х)= 2*3-3*0=6.

     Задача 2. Решить симплексным методом (Задачу решить по вариантам: номер варианта соответствует Вашему порядковому номеру в списке группы):

     Вариант 5    

         F() = 2X1 + 3X2  ® max

                                 2X1 + X2 + 2X3 +  X4          = 24

                               -2X1 + 4X2           - X4 + 4X5 = 6

                                3X1           + X3 + X4             = 20 

     Решение:

     Задача  задана в каноническом виде, где  ограничения записаны в виде равенств. Приведем систему ограничений к единичному базису. Для этого выпишем расширенную матрицу системы и с помощью преобразования Гаусса приведем её к единичному базису:

       ® *(-2)+ ®

      *1/4®

     Вернемся  к системе ограничений:

     

     Так как симплекс- метод позволяет  находить  min целевой функции, то вместо функции F(Х) возьмем Z(Х)= - F(Х) = - 2X1 - 3X2  ® min.

     Составим  симплекс – таблицу: 

     Исходным  базисом является система линейно независимых векторов (P4; P5; P3), а исходным опорным планом, соответственно – Х(0;0;Х3;Х4;Х5) = (0;0;4;16;22/4). В столбец «Базис» записываем векторы P4; P5; P3. В столбец «Ci» записываем коэффициенты при базисных переменных, т.е. C4=0; C5=0; C3=0. В столбец «B» записываем исходный опорный план Х4=16; Х5=22/4; Х3=4. В столбцы векторов Pj записывается матрица A. В верхней строке под матрицей A записываются соответствующие коэффициенты целевой функции. В последнюю (m+1) строку симплекс – таблицы в столбец записываем сумму попарно переменных элементов столбцов «Ci» и «B». В столбцы векторов Pj(m+1) строки записываем разности ∆j= Zj-Cj.

     ∆1= 0*4+0*4/2+0*(-1)-(-2)=2

     ∆2= 0*(-1)+0*3/4+0*1-(-3)=3

     ∆3= 0*0+0*0+0*1-0=0

     ∆4= 0*1+0*0+0*0-0=0

     ∆5= 0*0+0*1+0*0-0=0

     Так как среди ∆j есть положительные, то исходный опорный план (0;0;4;16;22/4) не является оптимальным.

     Анализируя  разности ∆j, устанавливаем, что ∆1 и ∆2 больше 0, max(∆1; ∆2)= ∆2, которая находится в столбце P2. Значит, вектор P2 следует ввести в базис.

     Выберем вектор, который нужно исключить из базиса. Для всех ai2>0 найдем: Qi= Хi/ ai2 и выберем Q= min Хi/ ai2

     Q5= 22/4/3/4=22/3; Q3= 4/1=4.

     Так как  Q= min(Q5; Q3)= Q3, значит из базиса нужно вывести вектор P3, и направляющий элемент. Таблицу, соответствующую старому плану, преобразуем по формулам полного исключения.

     Новый базисный вектор P2 запишем в третью строку на место вектора P3, заменив при этом C3 на C2=-3. Остальные элементы строки оставляем без изменения.

     Для получения новых строк в новой симплекс-таблице третью строку умножаем на соответствующее число и прибавляем к изменяемой строке так, чтобы остальные элементы столбца с направляющим элементом были равны 0. Аналогично первой таблице найдем ∆j.

     ∆1= 0*3+0*10/4+(-3)*(-1)-(-2)=5

     ∆2= 0*0+0*0+(-3)*1-(-3)=0

     ∆3= 0*1+0*(-3/4)+1-3)*1-0=-3

     ∆4= 0*1+0*0+(-3)*0-0=0

     ∆5= 0*0+0*1+(-3)*0-0=0

     Z= 0*20+0*10/4+(-3)*4=-12

     Получим новый опорный план (0;4;0;20;10/4), который  дает Z=-12. Этот опорный план не является оптимальным, т.к. среди ∆j есть положительные.

     Анализируя  ∆j устанавливаем, что лишь ∆1>0, значит вектор P1, следует ввести в базис. Q4=20/3; Q5=10/4/5/4=2. min (Q4; Q5)= Q5, значит направляющий элемент «5/4», следовательно вектор P5 следует вывести из базиса.

     Проведем  замену векторов, предварительно домножив вторую строку на 4/5.

 

     Z=0*14+(-2)*2+(-3)*6=-22

     ∆1=0*0+(-2)*1+(-3)*0-(-2)=0

     ∆2=0*0+(-2)*0+(-3)*1-(-3)=0

     ∆3=0*(-4/5)+(-2)*(-3/5)+(-3)*2/5-0=0

     ∆4=0*1+(-2)*0+(-3)*0-0=0

     ∆5=0*(-12/5)+(-2)*4/5+(-3)*4/5-0=-20/5=-4

     Получим новый опорный план (2;6;0;14;0). Так  как среди ∆j нет положительных, значит получен оптимальный план Хopt (2;6;0;14;0) min Z=-22. Но F=-Z, тогда при полученном оптимальном плане Fopt=22.

     КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4. Транспортная задача.

     Исходные  данные транспортных задач приведены  в таблицах. Составить план перевозки  однородного груза от пунктов  производства (объемы производства указаны  в последней графе таблиц) к пунктам потребления (объемы потребления указаны в последней строке таблиц) с минимальными суммарными транспортными расходами (затраты на перевозку единицы груза от поставщика потребителю указаны в таблицах)

     Решить  по вариантам:  номер варианта соответствует Вашему порядковому номеру в списке группы (номер таблицы – это номер варианта задания.

     Вариант 5

 

     Примечания  к транспортной задаче. При решении  задачи следует:

     1) привести задачу к сбалансированному  виду;

     2) построить начальный (исходный) план транспортировок (одним из методов: северо-западного угла, минимального элемента, Фогеля)

     3) найти оптимальный план перевозок  (либо путем прямого построения  «циклов» либо используя метод  потенциалов)

     Решение:

     Построим  таблицу данных: