Лекции по "Теплотехнике"

Лекція 6.

Рівняння  теплопровідності та його розв’язання  для плоскої та циліндричної поверхонь  при граничних  умовах першого роду.  

  Окремі випадки розв’язання математичної моделі конвективного теплообміну. Теплопровідність 

     Розглянемо  випадок, коли відсутній рух частинок одна відносно одної, тобто відсутня конвекція. Тоді рівняння руху і нерозривності тотожно рівні нулю, а у рівнянні енергії зникають усі члени, які мають швидкість і воно набуває вигляд:

     .    (1)

     Рівняння (1) називається рівнянням теплопровідності і описує процес перенесення тепла практично тільки у твердих тілах. У рідинах і газах при наявності градієнту температур виникає рух рідини, викликаний різницею густин нагрітих і більш холодних шарів (вільна конвекція). 

       Стаціонарна теплопровідність 

     Стаціонарна теплопровідність характеризується тим, що температура у кожній точці  тіла не змінюється з часом  . 

     Так, як , то рівняння (1) набуває вигляд:

.         (2)

     Отримане  рівняння називається диференційним  рівнянням теплопровідності у нерухомому середовищі при сталому тепловому  режимі.

     Розглянемо  деякі випадки розв’язання рівняння (2). 

     Теплопровідність  плоскої необмеженої  пластини

     Граничні умови першого роду 

     Необмеженою пластиною будемо вважати пластину, яка має розміри у напрямі  вісей у і z настільки великі, що тепло передається тільки у напрямку вісі Х рисунок 1.

     Температури поверхонь стінки рівні t_c1 і t_с2, причому Так, як ми розглядаємо сталий процес, то кількість тепла, підведеного до стінки і відведеного від неї, повинні бути рівні між собою і не повинні змінюватись у часі. У рівнянні теплопровідності зникають складові і та воно набуває вигляду:

.           (3) 

Рисунок 1. До розгляду граничних умов I роду 

Для його розв’язання  необхідно додати умови однозначності:

• геометричні – задана товщина пластини d,
• фізичні – теплопровідність l відома і не залежить від температури,
• граничні умови – відомі температури стінок t_c1 і t_c2.

           Інтегруючи двічі рівняння (3) отримаємо

,

де С₁ і С₂ - константи інтегрування.

     Таким чином одержане рівняння показує, що по товщині плоскої стінки температура  змінюється прямолінійно.

     Константи інтегрування визначаються виходячи з  граничних умов

при x=0; t=t_c1; отже ;

при x=d; t=t_c2; отже .

     Таким чином отримаємо:

.          (4)

     Питомий тепловий потік згідно закону Фур’є  дорівнює:

     .    (5)

Вираз - називається термічним опором пластини.

     Таким чином для безперервного процесу  передачі тепла теплопровідністю отримаємо:

.         (6)

     Рівняння (6) характеризує загальну кількість  теплоти Q, яка передається через  поверхню стінки F за проміжок часу t.

     Якщо  плоска стінка складається з n-шарів, які відрізняються один від одного теплопровідністю і товщиною, то при сталому процесі через кожний шар стінки пройде одна й таж кількість теплоти, яка може бути виражена для різноманітних шарів рівняннями:

 або  ;

;   ;

;     .

     Додавши ліві і праві частини, отримаємо

. 

Звідки

,          (7)

де і - порядковий номер шару стінки.

n - число шарів.