Лекции по "Теплотехнике"

     Лекція 5.

     Критерії  гідродинамічної  подібності.

     Критерії  теплової подібності, використання критеріїв  подібності 

       Критерії гідродинамічної  подібності 

     Розглянемо  два подібних рухи рідини, які описуються рівняннями нерозривності і руху. Для скорочення запису запишемо рівняння руху тільки для проекції W_x.

     Перша система: рівняння (1) і (2)

;

(1)

.         (2)

     Друга система: рівняння (3) і (4)

;

(3) 

.         (4)

     Введемо константи подібності:

 виразимо змінні другої  системи через константи подібності  і змінні першої системи

 і підставимо їх у рівняння (3) і (4):

(5) 

.        (6)

     Так як змінні у рівняннях (2), (2) і (3), (4) одні й ті ж самі, то рівняння повинні  мати одні й ті ж самі розв’язки, а це можливо, якщо дотримується наступна рівність:

      (7)

     Зіставимо 1 і 2 комплекси:

        (8)

     Підставляючи  значення констант подібності, отримаємо:

     Звідси  отримуємо наступний безрозмірний комплекс

.        (9)

який називається  критерієм гомохронності і характеризує нестаціонарність процесу або (можна сказати) враховує несталий характер руху в подібних потоках. Зіставляючи аналогічно інші комплекси рівності (8), отримуємо з 2 і 3 критерій Фруда

           (10)

характеризуючий співвідношення між силами тяжіння і силами інерції, з 2 і 4 критерій Ейлера

.            (11)

характеризуючи співвідношення між силами тиску і силами інерції, з 2 і 5 відповідно, критерій Рейнольдса

,           (12)

характеризуючий співвідношення сил інерції і в’язкості у  потоці рідини.

     Величина  в критерії Re, як і в інших критеріях подібності, являє собою визначальний лінійний розмір. При русі рідини через трубопроводи або апарати за такий розмір приймається їх діаметр d, а у випадку некруглого перерізу потоку – еквівалентний діаметр - d_е.

     У всіх схожих точках рідин, які рухаються  подібно

      (13)

     Згідно  другої теореми подібності, розв’язок  рівнянь Нав’є – Стокса можна тепер представити у вигляді функціональної залежності між отриманими критеріями подібності, тобто

.         (14)

     У ряду випадків ця залежність повинна бути доповнена симплексами геометричної подібності. При русі рідини через труби або канали таким симплексом являється співвідношення довжини труби до її діаметру або еквівалентного діаметру d_е.

 .        (15)

     При найбільш важливому для практики формулюванні задачі всі вхідні у рівняння критерії крім кр. , служать визначальними, так як вони складені виключно з величин, що виражають умови однозначності. У критерій Ейлера входить величина перепаду тиску , значення якої при русі рідини по трубі повністю обумовлено формою труби (відношенням ), фізичними властивостями рідини ( ) і розподіленням швидкостей біля входу у трубу і біля її стінок (початкові і граничні умови). Тому згідно 3 теореми подібності, для подібності необхідно і достатньо дотримання рівності значень . Результатом виконання цих умов буде також рівність значень визначуваного критерію Eu у схожих точках подібних потоків. Тому можна записати

     Залежність

або

         (16)

називається узагальненим, або критеріальним рівнянням  гідродинаміки. 

Наближене моделювання. автомодельність 

     При моделюванні багатьох біотехнологічних процесів не вдається додержуватись повної подібності, тобто рівність всіх визначальних критеріїв подібності дійсності і моделі, як це вимагає третя теорема подібності. Але при проведенні моделювання часто можна задовольнитись дотримуванням неповної подібності, лише подібності тих факторів, які найбільш значно впливають на досліджуваний процес, тобто здійснити наближене моделювання.

     Наприклад, при турбулентному русі крапельних рідин і газів, які переміщаються  за допомогою насосів і компресорних машин, вплив власної ваги рідини (сили тяжіння) на розподілення швидкостей і перепад тиску дуже малий.

     Тому  умовою рівності значень критерію Фруда, відображаючого вплив сили тяжіння, при моделюванні можна знехтувати і спростити раніше розглянуте рівняння до вигляду

.          (17)

     Отже, якщо будь-який параметр не впливає  на протікання процесу, то процес називається автомодельним відносно цього параметру. Тому вказаний вище турбулентний рух рідини можна вважати автомодельним за критерієм Фруда. 

Модифіковані  та похідні критерії подібності 

     Деякі фізичні величини, які входять  до критеріїв подібності, доцільно замінити на інші, їм пропорційні.

     Так, при описі процесів перемішування, підставляючи у критерій Рейнольдса значення окружної швидкості мішалки, виключають з виразу швидкості постійні множники, тобто підставляють до критерію Рейнольдса добуток діаметру мішалки на число її обертів

,          (18)

, а підставляють - .

     Отримані  при цьому видозмінені критерії називаються модифікованими.

     В ряді випадків виявляється важко визначити або вирахувати ту чи іншу величину, яка входить до критерію подібності, тоді її виключають шляхом сполучення двох чи більшої кількості критеріїв і отримують складні, або похідні, критерії подібності, складені з основних. При цьому виключену величину звично заміняють на іншу, їй пропорційну, досліджуване або розрахункове визначення якої є простішим.

     Так, при природній конвекції, яка  виникає під дією різниці густин рідини, обумовленій різноманіттям  температур в різних її точках, дуже важко визначити швидкість конвективних потоків. Однак ця швидкість входить до критерія ,який відображає подібність таких процесів. Тому виключають швидкість шляхом сполучення критеріїв Re і Fr:

      Отриманий комплекс величин являє собою похідний критерій, який називається крітерій Галілея - Ga:

.          (19)

      Помноживши  цей критерій на різницю густин рідини в різних її точках, виражену у відносних  одиницях, (ця різниця є причиною виникнення конвективних токів), знаходять новий похідний крітерій Архімеда

,         (20)

де  - густина частинок;

- густина рідини.

     Якщо  замінити симплекс пропорційною йому відносною величиною різниці температур, то можна отримати крітерій Грасгофа

.          (21)

     Отже  повторимо. При досліджуванні руху рідини під дією сил тяжіння можна  зустріти також такий вигляд критерія Галілея (можна зустріти також такий вигляд критерія Галілея)

          (22)

при описі процесів осадження критерій Архімеда

 .       (23)

     При природній конвекції застосовується також критерій Грасгофа

,         (24)

де  - коефіцієнт об’ємного розширення, а

- різниця температур. 

  Критерії теплової  подібності 

     Записуючи рівняння енергії для двох систем і роблячи аналогічно, як у попередньому розділі, отримаємо:

 (25)

     Звідки

         (26)

     Співвідносячи комплекси рівнянь (26) отримаємо  з 1 і 2 критерій гомохронності

,           (27)

з 2 і 3 критерій Пеклє

,           (28)

характеризуючий співвідношення між переміщенням тепла конвекцією і теплопровідністю у потоці рідини, з 1 і 3 критерій Фур´є

,           (29)

характеризуючий стаціонарність процесу теплопровідності. Зі співвідношення критеріїв і отримуємо критерій Прандтля

,          (30)

характеризуючий подібність гідродинамічних і теплових полів. Він цілком складається з величин, які виражають фізичні властивості  рідини.

     Значення  критерію , для крапельних рідин в межах 3¸300 і значно зменшуються зі зростанням температури, а для газів – постійні і залежать від атомності газу . Тому для рідин тепловий підшарок менше гідравлічного.

     Розглянемо  тепер рівняння теплообміну на межі розділу рідина-стінка, з якого  можна отримати:

  (31) 

     Звідки 

     З рівняння (31) отримаємо критерії Нусельта

           (32)

і Біо

,           (33)

які характеризують співвідношення між переносом тепла конвекцією і теплопровідністю у рідині ( ) і в твердому тілі ( ) біля межі розділу.