Лекции по "Теплотехнике"

     Лекція 4.

     Теорія  подібності, критерії подібності.

     Метод аналізу розмірностей. П-теорема. 

     Конвективний  теплообмін 

     Конвективний  теплообмін характерний для рідин  і газів. При цьому переміщення  тепла здійснюється одночасно конвекцією і теплопровідністю. Потрібно відрізняти вимушену і природну конвекцію. Вимушена конвекція відбувається під дією зовнішніх сил (насосів, вентиляторів і т.д.), у той час, як при природній конвекції рідина рухається внаслідок різниці густин нагрітих і холодних її частинок. При теоретичному вирішенні системи рівнянь конвективного теплообміну часто використовується гіпотеза пограничного шару, згідно якій, внаслідок прилипання рідини біля стінки виникає гальмівний шар малої товщини, швидкість в якому змінюється від нуля до швидкості незбудженого потоку W₀, рисунок 1 а). При турбулентному русі, течія у пограничному шарі на початку ламінарна (область 1, рисунок 1 б), а потім поступово турбулізується (область 2), але біля стінки все одно зберігається в’язкий підшар (область 3), товщина якого залежить від ступеня турбулізації і який являється основним термічним опором, так як тепло через цей шар передається теплопровідністю. 

            а)     б)     в)

Рисунок 1. Схема розподілення швидкості і температур у пограничному шарі 

     Аналогічно  гідродинамічному введено поняття  теплового пограничного шару, рисунок 1 в), згідно якого температура у  цьому шарі змінюється від температури  стінки , до температури не збудженого потоку .

     Ці  гіпотези дозволили ввести ряд спрощень у системі рівнянь, однак аналітичний  розв’язок залишається достатньо  складним, розв’язання існує для  порівняно невеликої кількості  окремих випадків. В інженерних розрахунках  найбільш часто використовуються експериментальні залежності, отримані на основі теорії подібності.

     Ще  скажемо декілька слів про фізичні  властивості розглядаємих рідин. Найбільший вплив здійснюють коефіцієнт теплопровідності l, питома теплоємність С_р, густина r, коефіцієнт температуропроводності а, коефіцієнт в’язкості m. Для кожної речовини ці величини мають певні значення і є функцією параметрів стану (температури, тиску, насамперед температури). Особливо суттєві зміни фізичних властивостей можуть мати місце біля критичної області термодинамічних станів і в області дуже низьких температур. Теплообмін біля критичної області розглянемо окремо. 

Коментар:_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

     Всі реальні рідини володіють в’язкістю; між частинками або шарами, які рухаються з різними швидкостями, завжди виникає сила внутрішнього тертя, протидіюча руху. Згідно закону Ньютона ця дотична сила S, віднесена до одиниці поверхні, яка діє у будь-якій точці потоку у площині, яка орієнтована по течії, пропорційна зміні швидкості у напрямку нормалі до цієї площини

     Коефіцієнт m  називається динамічним коефіцієнтом в’язкості;

При     S=m.

     У рівняння гідродинаміки і теплопередачі  часто входить відношення в’язкості m до густини r, яке називається кінематичним коефіцієнтом в’язкості і позначається літерою n, [м²с]:

     Коефіцієнти n і m є фізичними параметрами. Вони суттєво залежать від температури.

     У крапельних рідин в’язкість майже не залежить від тиску, але значно зменшується при підвищенні температури.

     У газів m збільшується при підвищенні температури. При збільшенні тиску коефіцієнт в’язкості газів також збільшується, але слабше.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  

     . Основи теорії  подібності 

     Теорія  подібності – це теорія експерименту. Основна особливість якого полягає  у вивченні явища з точним фіксуванням  умов його здійснення та відтворення  цього явища з повторенням цих умов. При цьому процеси, які протікають в установці, що проектується, на початку вивчаються на моделі, а потім результати досліджень на основі цієї теорії переносяться на реальну установку. Теорія подібності відповідає на наступні запитання: які величини вимірювати у дослідженнях, як обробляти результати досліджень і на які явища можна розповсюдити ці результати.

     Подібність  фізичних явищ означає подібність усіх величин, характеризуючих явище (геометрична  подібність, подібність фізичних параметрів, подібність поля швидкостей і т.д.). Простішою величиною, характеризуючою подібність, є константа подібності - відношення однорідних величин у схожих точках простору в межах двох однорідних систем. 

     Інваріант подібності 

     Розглянемо  геометрично подібні трикутники: 

                        а)                                       б)                              в)

Рисунок 2. До розгляду теорії подібності 

     Ця  рівність справедлива для будь якої кількості подібних трикутників і називається інваріантом подібності.

     Таким чином, інваріант подібності зберігає своє значення для нескінченної кількості  подібних систем, у той час, як константа  подібності втрачає своє значення при  переході до нової подібної системи  і справедлива тільки в межах двох подібних систем.

     Найпростіший  інваріантом подібності – співвідношення двох величин  називається симплексом подібності.

     У подібних системах кожна величина має відмінну від інших константу подібності, тому подібність фізичних явищ характеризується комплексом величин, які називаються критеріями подібності (наприклад, критерій Рейнольдса). Критерії подібності завжди безрозмірні, отримуються з диференціальних рівнянь, описуючих явище, і мають певний фізичний зміст.

     Подібні явища мають однакові і рівні  критерії подібності – це перша  теорема подібності, яка відповідає на перше поставлене вище запитання: у дослідах потрібно вимірювати величини, які входять у критерій подібності. Друга теорема подібності формулюється так: залежність між змінними величинами у вигляді диференційних рівнянь може бути представлена у вигляді залежності між критеріями подібності, складеними з тих самих змінних. Ця теорема відповідає на запитання, як обробляти результати досліду: результати досліду потрібно обробляти у вигляді критеріїв подібності і представляти залежностями між цими критеріями з визначеними експериментально чисельними коефіцієнтами. Згідно третьої теореми подібними називаються явища, протікаючи у геометрично подібних системах, які підпорядковані одним і тим же рівнянням, які мають однакові умови однозначності і рівні критерії подібності. Ця теорема відповідає на запитання, на які явища дозволено переносити результати дослідів.

     Перша теорема подібності була сформульована Ньютоном.

     Друга теорема подібності була доведена Бекінгемом, Федерманом і Афанасьєвою-Еренфест.

     Третя теорема подібності була сформульована  М.В. Кирпичовим і А.А. Гухманом.

     Отже  критерії подібності, які складаються  тільки з величин, які входять  в умови однозначності, називаються визначальними. Критерії, які включають також величини, які не є необхідними для однозначної характеристики даного процесу, а самі залежать від цих умов, називаються визначуваними.

     Таким чином, дослідження процесів методом  теорії подібності повинно складатись з наступних етапів:

     1) Отримавши  повний математичний опис процесу,  тобто склавши диференційне рівняння  і встановивши умови однозначності,  проводять подібні перетворення  цього рівняння і знаходять  критерії подібності.

     2) Дослідним шляхом на моделях встановлюють конкретний вигляд залежності між критеріями подібності, причому отримане загальне розрахункове рівняння справедливе для всіх подібних явищ в досліджуваних межах зміни визначальних критеріїв подібності. 

       Основні принципи методу аналізу розмірностей 

     Багато  процесів мікробіологічної технології залежать від великої кількості  різних факторів, що для них не вдається отримати повного математичного  опису можна лише в самому загальному вигляді уявити залежність між різними  змінними, впливаючими на протікання процесу.

     Якщо, наприклад згідно практичним даним, деяка величина a залежить від параметрів b,g,d,q, то загальний вигляд залежності між даними величинами

,         (1)

.

     Для пошуку конкретного виду функціональної залежності, тобто для знаходження  розрахункового рівняння, може бути застосований метод аналізу розмірностей.

     В основу методу покладена – теорема Бекінгема, згідно якої загальна функціональна  залежність, зв’язуюча між собою n змінних величин при m основних одиницях їх виміру, можна представити у вигляді залежності між (n-m) безрозмірними комплексами цих величин, а при наявності подібності – в вигляді зв’язку між (n-m) критеріями подібності.

     Так, наприклад, якщо розлядаєме явище описується в загальному вигляді співвідношенням (2) зв’язуючим п’ять будь-яких фізичних величин і якщо ці величини виражаються за допомогою трьох основних одиниць вимірювання, то n=5, m=3.

     Тоді  відповідно (n-m)=2, і вказана функціональна  залежність може бути представлена у вигляді функції між деякими двома безрозмірними комплексами p₁ і p_2.

          (2)

або

           (3)

     Розглянемо  використання методу аналізу розмірностей на цьому прикладі, вважаючи, що розмірності усіх п’яти величин, характеризуючих процес, виражаються через основні одиниці вимірювання в СІ, а саме – одиниці довжини L (м), часу Т (сек) і маси М (кг).

     Нехай функція загального вигляду може бути наближено представлена у вигляді степеневої залежності між величинами

,          (4)

де  - невідомі чисельні величини

     Виразимо  розмірність величин  в одиницях довжини, часу, маси:

                           (5)

     В цих  виразах розмірностей показниками  ступеню при L,T,M - деякі певні числові  величини.

     Враховуючи, що розмірність загальних частин рівняння (5) однакова, а х - безрозмірний коефіцієнт, замінимо в ньому всі величини їх розмірностями

         (6)

або при підстановці  конкретного виразу розмірності  кожної величини

.

     Розкриваючи дужки у правій частині цього  рівняння і групуючи однорідні члени, отримаємо

     

     Показники ступенів при однакових основних одиницях в обох частинах рівняння повинні бути рівні. Тому

        (7) 

     У цій  системі з 3-х рівнянь маємо  чотири невідомі: . Будь-які три з них завжди можна виразити через четверту наприклад.

      ,     (8)

де A,B,C,D,E,F—певні числові  величини, значення яких визначаються з системи рівнянь (7) за значеннями всіх числових величин а,b,с.

     Підставимо  тепер значення у рівняння (6)

або

,

звідки переходячи до безрозмірної форми отримаємо

         (9)

     В цьому  рівнянні, у відповідності з  - теоремою, зв’язок між п’ятьома початковими величинами представлений у вигляді загальної залежності між двома безрозмірними комплексами цих величин

      Для знаходження конкретного вигляду  рівняння слід визначити числові  значення невідомих величин - коефіцієнта  х і показника ступеню у.