Вивчення будь-якого фізичного явища зводиться до встановлення залежності між величинами, які характеризують це явище. Для складних фізичних процесів в яких визначаємі величини можуть суттєво змінюватись у просторі і часі встановити залежність між ними дуже складно. У цих випадках на допомогу приходить метод математичної фізики, який виходить з того, що обмежується проміжок часу і з усього простору розглядаємо лише елементарний об’єм, це дозволяє в межах елементарного об’єму і вибраного малого проміжку часу знехтувати зміною деяких величин, характеризуючих процес і суттєво спростити залежність. Вибраний таким чином елементарний об’єм dV і елементарний проміжок часу dt в межах якого розглядаємо вивчаємий процес, з математичної точки зору є величини нескінченно малі, а з фізичної точки зору – достатньо великими, щоб в їх межах можна було ігнорувати дискретну будову середовища, отже, розглядаємо його, як суцільне середовище. Отримана таким чином залежність є загальним диференційним рівнянням процесу.

Інтегруючи диференційне рівняння можна отримати аналітичну залежність для всієї області інтегрування і всього розглядаємого проміжку часу. Для полегшення виведення диференційного рівняння зробимо наступні припущення:

тіло однорідне і ізотропне;
фізичні параметри постійні;
деформація розглядаємого об’єму, яка пов’язана зі зміною температури дуже мала у порівнянні з самим об’ємом C_v=C_p;
внутрішні джерела теплоти у тілі, які в загальному випадку можуть бути задані у такому вигляді q_v=f (x,y,z,t), розподіляються рівномірно.

Поняття конвективного теплообміну охоплює процес теплообміну при русі рідини або газу. При цьому перенос тепла здійснюється одночасно конвекцією і теплопровідністю.

Під конвекцією теплоти розуміють перенос теплоти при переміщенні макрочастинок рідини або газу у просторі із області з однією температурою в область з іншою температурою. Конвекція можлива тільки в текучому середовищі, в якому перенос теплоти нерозривно пов’язаний з переносом самого середовища.

Рівняння переносу маси та його аналіз. Часткові випадки.

Рівняння нерозривності

Рівняння нерозривності є математичним записом закону збереження маси. Розглянемо нерухомий об’єм рідини з гранями dx, dy, dz, рисунок 1. Через грань, перпендикулярну вісі Х, поступає

(1)

маси, а виходить

. (2)

Рисунок 1. До розгляду рівняння нерозривності

Залишок маси в об’ємі дорівнює різниці:

(3)

Записавши аналогічно для інших граней, отримаємо сумарний приток маси у елементі об’єму

, (4)

який являє собою зміну густини в елементі об’єму за час

. (5)

Порівнюючи обидва рівняння, отримаємо рівняння нерозривності:

. (6)

Для нестисненої рідини (r=const) маємо:

. (7)

Таким чином, рівняння нерозривності замикає систему рівнянь конвективного теплообміну.

Рівняння переносу енергії та його аналіз. Часткові випадки.

Рівняння енергії

Рівняння енергії відображає закон збереження енергії, відповідно якому зміна внутрішньої енергії елементарного об’єму середовища dQ дорівнює сумі енергій, яка підводиться теплопровідністю та конвекцією dQ₁, внутрішніх джерел dQ₂ та енергія,яка виділяється внаслідок внутрішнього тертя частинок рідини при її русі (енергія дисипації) dQ₃.

Рисунок 2. До виведення рівняння енергії

. (8)

Виділимо в середовищі, що рухається нерухомий елемент (Рисунок 3) – паралелепіпед зі сторонами dx, dy, dz. Паралелепіпед розташований таким чином, що його грані паралельні відповідним координатним площинам. Далі розглянемо доданки попереднього рівняння. Сумарна кількість енергії, яка підведена шляхом теплопровідності і конвекції через кожну із трьох граней паралелепіпеду рівна:

. (9)

В проекції на вісь ОХ маємо:

- кількість енергії підведеної до граней елементарного об’єму за час dt у напрямку вісі ОХ;

- кількість енергії, яка буде відводитись через протилежні грані у напрямку вісі ОХ.

Так як,

(10)

Для вісі ОХ маємо,

Так як функція є суцільною і неперервною в розглядаємому інтервалі dx то може бути розкладена в ряд Тейлора:

Аналогічно отримаємо подібні вирази для вісей ОУ та ОZ.

Складаючи одержимо:

. (11)

Тепловий потік є сумою теплових потоків, які отримуються за рахунок теплопровідності та конвекції. Для вісі ОХ маємо:

. (12)

Теплоємність при постійному об’ємі рівна теплоємності при постійному тиску ,

де - складова швидкості у напрямку вісі ОХ;

r - густина речовини;

- теплоємність при постійному об’ємі.

Після диференціювання маємо:

. (13)

Аналогічно отримаємо вирази для і .

Додаючи це все отримаємо:

(14)

Зміна енергії внутрішніх джерел

, (15)

де - питома енергія внутрішніх джерел.

Розглянемо рух рідини між нерухомою і рухомою пластинами внаслідок прилипання рідини до стінок швидкість її змінюється від нуля до швидкості W_x. Завдяки зміні швидкості відбувається зрушення шарів рідини один віднсно іншого, внаслідок чого виділяється теплота дисипації. Кількість цієї теплоти пропорційна градієнту швидкості зрушення.

Розглянемо елементарний об’єм рідини на грані, якого діють сили, які можна спроектувати на координатні вісі і розділивши проекції на площину граней отримаємо нормальні і дотичні напруги .

Рисунок 4. До розгляду рівняння енергії

З умови рівноваги сума моментів сил рівна нулю, тому дотичні напруги попарно рівні. Розглянемо добуток напруги на градієнт швидкості у напрямку дії цієї напруги. Отже, цей добуток являє собою енергію дисипації, викликану швидкістю зрушення в одиниці об’єму рідини. Виходячи з цього, сумарна енергій дисипації дорівнює:

(16)

Зміна внутрішньої енергії в елементарному об’ємі за час dt дорівнює:

. (17)

Підставляючи (14),(15),(16),(17) у закон Ньютона-Ріхмана, отримаємо наступне рівняння:

(18)

Це рівняння відображає закон збереження енергії і тому називається рівнянням енергії. Перший його член являє собою зміну енергії в одиниці об’єму у часі. Другий член, відповідно, характеризує, тепло, підведене в одиницю об’єму внаслідок теплопровідності, а третій член - внаслідок конвекції, четвертий член характеризує зміну енергії, яка пов’язана зі стисканням (або розширенням) рідини, а п’ятий—тепло, яке виділяється внаслідок дисипації. В подальшому ми будемо розглядати нестиснені рідини, для яких:

і С_р=С_v=C.

Для багатьох рідин, які зустрічаються у процесах біотехнології можна знехтувати енергією дисипації і внутрішніх джерел, і вважати, що теплофізичні властивості не залежать від температури. Тоді рівняння (18) набуває вигляд:

, (19)

де - коефіцієнт температуропроводності, який має розмірність:

Цей коефіцієнт характеризує теплоінерційні властивості тіла: при інших рівних умовах швидше нагрівається або охолоджується те тіло, яке має більший коефіцієнт температуропроводності. Ліва частина рівняння називається повною або матеріальною похідною. Скорочено рівняння (19) можна записати:

, (20)

де - Лапласіан другого порядку у декартові системі координат.

У рівнянні (19) невідомими є складові швидкості і температура - t. Для знаходження складових швидкості необхідно додати рівняння руху.