Основы теории надежности

 

     На рисунке 2 представлен типичный вид кривых функции надежности, плотности распределения отказов и интенсивности отказов при экспоненциальном законе распределения.

      Рисунок 2 – Функция надежности (а), плотности  распределения (б) и интенсивности отказов (в) при экспоненциальном законе

     Однако  надо иметь в виду, что в представленном виде он применим к элементам (и системам) невосстанавливаемым (или восстанавливаемым за пренебрежимо малое время). Если на восстановление затрачивается ощутимое время, то для экспоненциального распределения вероятность появления «r» отказов в системе за суммарное время наработки t определяется распределением Пуассона:

.     

     Это уравнение было получено французским  математиком Пуассоном для описания распределения независимых случайных событий и называется. Оно широко применяется при описании процессов отказов в случае восстановления системы.

    Для восстанавливаемых объектов при  экспоненциальном распределении наработок между отказами параметр потока отказа совпадает с интенсивностью отказов, т.е. ω (t) = l.

 

     2. Надежность в период  постепенных отказов

     Как следует из рисунка 1, на третьем  этапе эксплуатационного цикла наблюдается прогрессирующий рост интенсивности отказов. Это объясняется проявлением износовых и других, носящих неизбежный характер, процессов, имеющих накопительный характер.

     Для постепенных отказов нужны законы распределения времени безотказной работы, которые дают вначале низкую плотность распределения, затем максимум и далее падение, связанное с уменьшением числа работоспособных элементов

     В большинстве случаев проявления износовых отказов хорошо подчиняются  нормальному распределению, согласно которому плотность распределения отказов описывается уравнением:

f (t) = ( 1 / s Ö 2p ) exp{- [(t – m)² / 2 s²]}

 

     Или через плотность нормированного нормального распределения

     f (t) = f₀ (u_p) / s

     При известной функции нормального  распределения плотности отказов  вероятность безотказной работы и вероятность отказа имеют вид:

 

     P(t) = 1 - F₀ (u_p)

     P(t) = 0,5 - Ф(u_p)

     Q(t) = F₀ (u_p)

     Q(t) =0,5 + Ф(u_p)

 
 

     На  рисунке 3 представлены кривые, характеризующие  параметры надежности при этом виде распределения.

      Рисунок 3 – Кривые изменения функции  отказов (а), плотности распределения (б) и интенсивности отказов (в) при нормальном законе распределения; М – средний ресурс или средний срок службы объекта.

     Из  теории вероятности известно, что  кривые нормального распределения, имеющие различную пологость, должны иметь и различное среднеквадратическое отклонение. Например, если s1 > s2, кривая 1 будет иметь более пологий вид, чем кривая 2 (рисунок 4).

 

      Рисунок 4 – Виды кривых распределения при s1 > s2

 

     Следует помнить, что кривая f (t), как правило, отлична от нуля при начальном значении времени t >>0, т.е. первоначально в системе возникают отказы, например, подчиняющиеся экспоненциальному распределению, а с момента времени t₁ (рисунки 3, 4) появляются отказы, подчиняющиеся нормальному распределению.

 

Сравнительный анализ экспоненциального  и нормального законов распределения отказов

     Указанные виды распределения отказов отражают различную природу отказов. Тем не менее, полезно провести их сравнительный анализ. Пример кривых распределений представлен на рисунке 5.

      Рисунок 5 – Кривые плотности распределения  отказов при нормальном (а) и экспоненциальном (б) законах.

 

     При экспоненциальном законе около 63% отказов  возникает раньше момента времени, соответствующего средней наработке на отказ, и только примерно 37% отказов возникает позже. Поэтому надежную работу можно получить только для интервала времени, значительно меньшего средней наработке на отказ. Только для времени работы t<T₀ вероятность отказа действительно мала и, следовательно, высока вероятность безотказной работы.

     С другой стороны, в случае нормального  распределения отказы группируются около среднего значения долговечности М. Так как абсцисса «М» соответствует максимуму на кривой f(t), а f(t)= dF/dt, то очевидно, что абсцисса «М» является координатой точки перегиба на кривой функции надежности, которая в этом случае симметрична относительно «М» Это соответствует вероятности безотказной работы примерно 50%, т.е. до значения t=M смогут проработать примерно половина элементов (рисунок 6).

     Поэтому при нормальном распределении плотности  отказов безотказную работу часто можно обеспечить при достаточно большом времени работы, близком к среднему значению долговечности элементов.

     При экспоненциальном законе распределения  на первоначальном этапе работы вероятность безотказной работы убывает быстрее с возрастанием времени, чем в случае нормального распределения для равных отношений t / T₀ и t / М. Но зато в области М нормальное распределение демонстрирует значительно более динамичный характер падения вероятности безотказной работы.

 

      Рисунок 6 – Кривые функции надежности при  экспоненциальном (а) и нормальном (б) законах распределения.

 

     Рассмотрим  совместное действие двух видов распределений, т.е. ситуацию, когда в системе проявляются как внезапные, так и износовые отказы.

     Очевидно, что в этом случае интенсивность  отказов должна быть равна сумме  интенсивностей отказов двух видов:

l_с=l_в+l_и,      

где l_с, l_в, l_и - интенсивность отказов системы, внезапных и износовых отказов соответственно.

Вероятность безотказной работы будет иметь  вид:

     P_с = Р_в × Р_и =

.   

     В зависимости от соотношения Т₀ и М суммарная кривая надежности будет выглядеть по-разному (рисунок 7) для объектов, не имеющих предварительной приработки.

      Рисунок 7 - Кривые надежности в зависимости  от соотношения Т₀/М при совместном действии законов распределения.

 

      Из  рисунка 7 видно, что если средняя долговечность значительно ниже средней наработки на отказ, надежность системы становится нелинейной и обуславливается нормальным законом распределения. В другом случае имеет место обратное.

 

      

                        Надежность  систем

     Надежность  большинства изделий в технике приходится определять при рассмотрении их как систем, состоящих из отдельных элементов.

     Любая техническая система является интегральной, состоящей из подсистем, каждая из которых, в свою очередь, состоит из соединенных определенным образом элементов более низкого уровня.

     Вполне  очевидно, что, если речь идет о параметрах надежности системы и о параметрах надежности составляющих элементов, они не должны рассматриваться независимо, т.е. надежность системы должна зависеть от параметров надежности составляющих элементов. Но при расчете надежности системы недостаточно знать только количественные соотношения система – элементы. В этом случае еще принципиально важно учитывать характер функционального взаимодействия элементов и их назначение. Относительно параметров надежности системы проблема может быть рассмотрена в двух аспектах:

1. известны параметры надежности элементов и следует рассчитать параметры надежности системы;
2. известны параметры надежности системы, и необходимо определить параметры надежности составляющих систему элементов.

     Системы с позиций надежности могут быть последовательными, параллельными и комбинированными.

     Последовательные  системы.

     К последовательным системам относятся все системы, в которых отказ любого элемента приводит к отказу системы.

     Автомобиль  в целом, двигатель, коробка передач, рулевое управление, трансмиссия, колесо в сборе и др. составные части автомобиля следует рассматривать как восстанавливаемые системы с последовательным соединением элементов.

      Расчетная схема надежности систем с последовательным включением элементов от Э₁ до Э_n имеет вид:

     

 
 

     Если  нагрузка на систему распределена равномерно по элементам (F₁ = F₂ = Fi = F_n = F₀), а несущие способности элементов (R₁, R₂, Ri, R_n) независимы друг от друга, следовательно, их отказы являются событиями независимыми, то вероятность безотказной работы Р(Ri ³ Fi) равна произведению вероятностей безотказной работы элементов, т.е.

 

     Р(Ri ³ Fi) = Р₁ × Р₂ ×…× Р_i ×…× P_n.

     Аналогично, для любого времени или наработки  t:

 

     P_C (t)= P₁ (t) × P₂ (t) × …× P_i (t) ×…× P_n (t).

 
 

     Вероятность отказа системы равна

 

     Q_C (t) = [1 - P_C (t)].

 

     Следствием  выражения для вероятности безотказной  работы системы может быть равенство:

     

,

которое, например, для экспоненциального  закона принимает вид:

     l_с= l_i +l₂ + l₃ +... + l_i..

     Полученные  уравнения позволяют сделать  заключение, что надежность системы  с последовательно соединенными элементами всегда ниже надежности самого ненадежного элемента в этой системе. Это обстоятельство обязывает обеспечивать чрезвычайно высокий уровень надежности для составляющих систему элементов.