Основы теории надежности

     Частость  события и вероятность события  обладают одинаковыми свойствами, однако разница между ними заключается в том, определение вероятности не требует, чтобы испытания проводились в действительности, а определение частости предполагает фактическое проведение испытаний. Иными словами, вероятность вычисляют до опыта и используют для прогноза надежности, а частость – после опыта и используют для анализа.

     В теории надежности широко применяются  такие понятия логической алгебры, как сумма и произведение нескольких, в частности, двух событий.

     Суммой  двух несовместных событий А и В называется событие С, заключающееся в проявлении события А или В, безразлично какого.

Графически  сумму событий можно показать так

                                                                                         

 
 
 
 

      Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

 

      Сумма вероятностей двух событий, образующих полную группу равна единице.

Р(А) + Р(В) = 1.

 

      Так как безотказная работа и отказ  объекта составляют полную группу событий, то можно записать для любого момента  времени эксплуатации автомобиля

      P(t) + Q(t) = 1,

      где P(t) – вероятность безотказной работы, Q(t) – вероятность отказа, t – наработка изделия.

     Суммой  нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

     Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Р(А + В +С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = Р(А + В) + Р(С) = Р(А +С) +Р(В) =

Р(В + С) + Р(А)

 

      Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном проявлении всех этих событий.

      Графически  произведение событий можно показать так

 
 
 
 
 

      Вероятность совместного проявления двух событий  А и В равна произведению вероятности  одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

      Применительно к зависимым событиям можно записать

 

      Р(А×В) = Р(А) × Р_А(В) = Р(В)×Р_В(А),

      где Р_А(В), Р_В(А) – условные вероятности, соответственно, событий Б и А.

 

      Более применимой в теории надежности является формула произведения вероятностей нескольких независимых событий.

      Всякая машина, в том числе и автомобиль, состоит из сборочных единиц и деталей, ряд из которых обеспечивает ее функционирование. Обычно машина будет работоспособна, если в работоспособном состоянии находятся все эти изделия. Отсюда можно сделать вывод, что вероятность работоспособного состояния машины равна вероятности совместного проявления работоспособного состояния всех указанных выше изделий, т.е.

 

      Р(А×В×С×…×N) = Р(А) × Р(В)×P(C)×...×P(N).

 

     Суммой  двух совместных событий А и В называется событие С, заключающееся в проявлении события А или В, безразлично какого, или обоих вместе.

      Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Для независимых  событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) × Р(В),

Для зависимых  событий

 

      Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) × Р_А (В),

 

      Рассмотрим  законы распределения и характеристики случайных величин, используемые в теории надежности.

      Под законом распределения случайной величины понимается всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

      Дискретная  величина Х (например, число отказов, количество дефектных изделий и др.) может принять какие-то конкретные значения х_i c некоторой вероятностью Р_j, т. е.

 

      Р(Х = х₁) = Р₁,  Р(Х = х₂) = Р₂,  Р(Х = х₃) = Р₃,  Р(Х = х_n) = Р_n,

 

      Так как рассматривается полная группа несовместных событий, то S Р_j=1.

      Про случайную величину говорят, что  она задана, если задан закон распределения.

      Закон распределения случайной дискретной величины может быть задан аналитически, численно, графически.

      Аналитически  распределение задается в виде формулы.

      В теории надежности используются несколько  законов распределения случайных  дискретных величин: биномиальное, распределение Пуассона, геометрическое и др.

      Для случайной величины с биномиальным распределением функция распределения имеет вид

      F(x) = P_n(k) = C_n^k p^k q^{n – k},

 

      где k = 1,2,3,….n, P_n(k) – вероятность появления k событий в n испытаниях, C_n^k – число сочетаний из n по k,   p – вероятность появления события в каждом испытании, q – вероятность непоявления события в каждом испытании.

      Для случайной величины с распределением Пуассона, когда количество испытаний  n велико, а вероятность p событий в каждом испытании мала, закон распределения имеет вид

 

      P_n(k) = l^k e^-l / k!,

      где l = n p.

Численно закон  распределения задается в виде таблицы, например такой

 
 

      Графически  закон распределения случайной  дискретной величины изображается многоугольником распределения

      

 
 
 
 
 
 
 
 

      В диапазоне изменения случайной  непрерывной величины Х для каждого числа х существует определенная вероятность Р(Х < х), что Х не превосходит х. Зависимость

      F(x) = Р(Х < х) = ò f(x) dx

 

называется  функцией распределения, интегральной функцией распределения или законом распределения случайной непрерывной величины Х.

     Функция F(x) является неубывающей (монотонно возрастающей для непрерывных величин) функцией х. В пределах изменения случайной величины Х она меняется в пределах 0 £ F (x) £ 1.

      Функция f(x) называется плотностью распределения. В задачах надежности она используется как плотность вероятности.

           Плотность вероятности  f (x) , связанная с функцией распределения соотношением

f (x) = d F (x) / dx,

называется дифференциальным законом распределения случайной величины.

 

      В теории надежности используются, в  основном, следующие характеристики дискретных и непрерывных случайных величин:

• математическое ожидание (среднее значение) -m_x,

а) для  дискретных величин – 

m_x = S p_i x_i,

б) для  непрерывных величин –

m_x = ò x f(x)dx

 

• дисперсия -D_x, (характеризует разброс случайной величины),

а) для  дискретных величин – 

D_x = S (x_i - m_x)²p_i,

б) для  непрерывных величин – 

D_x =ò (x - m_x)² f(x)dx

 

• среднее квадратическое отклонение - s, 

s = Ö D_x

• коэффициент вариации v, 

v = s / m_x

Исследование  закономерностей изменения технического состояния автомобилей должно базироваться на основных вероятностных законах распределения наработок, которые определяют моменты возникновения отказов. Наработка является непрерывной случайной величиной.

В теории надежности автомобиля чаще всего пользуются следующими законами распределения  наработок t : экспоненциальным, нормальным, логарифмически нормальным и распределением Вейбулла.

     Экспоненциальное  распределение наработок характерно для периода нормальной эксплуатации изделия, когда постепенные (износовые) отказы еще не проявляются и надежность определяется внезапными отказами.

     Эти отказы вызываются неблагоприятным  стечением многих обстоятельств  и поэтому имеют постоянную интенсивность, которая не зависит от возраста изделия.

     Функция распределения наработок имеет  вид:

F(t) =1 - e ^{- lt},

     Плотность распределения:

f (t) = l e ^{- lt} .