Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений

1. Используя формулу (9.19), получаем:

     

     

     

     

2. По формуле (9.21) значение коэффициента корреляции составило:

     

     Результат тот же. По формуле (9.22):

     

     Таким образом, результат по всем формулам одинаков и свидетельствует о  сильной прямой зависимости между  изучаемыми признаками.

     Проверка  значимости коэффициента корреляции:

     

     Гипотеза  отвергается при уровне значимости и числе степеней свободы , так как , что свидетельствует о значимости данного коэффициента корреляции.

     Доверительные интервалы линейного коэффициента корреляции между суммарной выручкой и численностью профессионалов аудиторско-консультационных фирм Москвы получились: ; . Тогда - для нормального закона распределения (приложение 1) ; .

     По  таблице  -распределения Фишера (приложение 6):

     

     

     

     По  таблице  -распределения Фишера (приложение 6) определим ( ).

     В случае наличия линейной и нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи  применяют так называемое корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

     Эмпирическое  корреляционное отношение  рассчитывается по данным группировки, когда характеризует отклонения групповых средних результативного показателя от общей средней:

 

     Все эти дисперсии являются дисперсиями результативного признака.

     Теоретическое корреляционное отношение  определяется по формуле:

 

     

     

     Тогда

объясняется влиянием факторного признака.

     В основе расчета корреляционного  отношения лежит правило сложения дисперсий (см. главу 7), т.е.

 

     

     Отсюда  формула корреляционного отношения  принимает вид

     Корреляционное  отношение изменяется в пределах от 0 до 1 ( ), и анализ степени тесноты связи полностью соответствует линейному коэффициенту корреляции (см. табл. 9.6).

     Теоретическое корреляционное отношение также может вычисляться по формуле

     

.

     Корреляционное  отношение является более универсальным  показателем тесноты связи по сравнению с линейным коэффициентом корреляции.

     Для измерения тесноты связи при  множественной корреляционной зависимости, т.е. при исследовании трех и более признаков одновременно, вычисляются множественный, или совокупный, и частные коэффициенты корреляции.

     Множественный коэффициент корреляции рассчитывается при наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.

     Он  вычисляется по формуле

     

 

     В случае оценки связи между результативным ( ) и двумя факторными признаками ( ) и ( ) множественный коэффициент корреляции можно определить по формуле

 

     Множественный коэффициент корреляции можно рассчитать, используя парные коэффициенты и коэффициенты регрессии в стандартизованном масштабе ( ):

     

     Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению  положителен: .

     Приближение к единице свидетельствует о сильной зависимости между признаками. При небольшом числе наблюдений величина коэффициента множественной корреляции, как правило, завышается.

     Чтобы оценить общую вариацию результативного (моделируемого) признака в зависимости  от факторных признаков, величина коэффициента множественной корреляции корректируется на основании следующего выражения:

 

     Корректировка не производится при условии, если

     

     Проверка  значимости коэффициента множественной  корреляции осуществляется на основе -критерия Фишера-Снедекора:

     Гипотеза  о незначимости коэффициента множественной корреляции ( ) отвергается, если .

     Оценка  доверительных границ производится следующим образом: величина приравнивается к гиперболическому тангенсу величины , т.е. , где

     

     Плотность распределения  является почти нормальной со средним значением

и дисперсией

     Следовательно,

     

     отсюда:

     По  таблицам -преобразования Фишера находят и , т.е. - верхняя и нижняя границы значений .

     На  основе данных табл. 9.5 рассчитаем коэффициент  множественной корреляции и его  ошибку:

     

     Матрица линейных коэффициентов корреляции имеет вид:

     

     Множественный коэффициент корреляции составит:

     

     Проверка  условия  подтверждает возможность проведения корректировки данного коэффициента:

     

     Проверка  значимости коэффициента множественной  корреляции показала:

     

     Гипотеза  о незначимости коэффициента корреляции отвергается, так как

     

     Определим доверительные границы, в которых  находится  в генеральной совокупности. При этом доверительную вероятность примем равной , (приложение 1).

       

      ;

      ;

     

     

     Отсюда  по таблице  -преобразования Фишера (приложение 6) получаем:

     Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками и при фиксированном значении других ( ) факторных признаков, т.е. когда влияние исключается и оценивается связь между и в «чистом виде».

     Коэффициент, в котором исключается влияние  только одного факторного признака, называется коэффициентом частной корреляции первого порядка. В общем виде коэффициент корреляции первого порядка выражается так:

     

.

     В случае зависимости  от двух факторных признаков и коэффициент частной корреляции следующий: