Средние величины в статистике

     Однако  исходная информация может иметь  другую форму: индивидуальные значения осредняемого признака могут быть неизвестны, зато известны индивидуальные или суммарные значения объемных признаков как числителя, так и знаменателя относительной величины. Например, известно, что в акционерном сельхозпредприятии было посажено 145 га картофеля и собрано с них 2595,5 т продукции. При этом совершенно неизвестно, сколько было собрано с каждого гектара из 145 га в отдельности, хотя на самом деле, конечно, индивидуальные величины продукции, полученные на каждом гектаре, существовали объективно. Однако никакой потребности в их раздельном учете нет; учет продукции ведется по бригадам, по отдельным полям севооборота, но не по каждому гектару. Среднюю урожайность картофеля получают попросту делением массы собранной продукции на площадь посадки, т. е. как относительную величину, характеризующую хозяйство в целом:

     По  отношению к предприятию это  относительный показатель. Но существуют и сами значения урожайности с каждого из 145 га, хотя и неучтенные. По отношению к ним 17,9 т с 1 га - это средняя величина. Такую форму определения средней арифметической величины, при которой остаются неизвестными индивидуальные значения осредняемого признака, следует называть Неявной формой средней. Формула такой средней имеет вид: . 

2. ДРУГИЕ ФОРМЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН

2.1 Средняя гармоническая. Средняя геометрическая. Средняя квадратическая и средняя кубическая

     При расчете средних показателей  помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялся итоговый, обобщающий, или, как его принято называть,  определяющий показатель, который связан с осредняемым показателем (например, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней скоростью не должно измениться общее расстояние, пройденное транспортным средством за одно и то же время; при замене фактических заработных плат отдельных работников предприятия средней заработной платой не должен измениться фонд заработной платы). Следовательно, в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных существует только одно истинное среднее значение показателя, адекватное свойствам и сущности изучаемого социально-экономического явления.

      Произведение  xf дает объем осредняемого признака x для совокупности единиц и обозначается w. если осредняется заработная плата рабочих цеха, а f – число рабочих, то w=xf – фонд заработной платы цеха. При исчислении средней цены товара объемом осредняемого признака w выступает стоимость проданных товаров, рассчитываемая как произведение цены единицы товара на количество единиц (объем продаж). Объемом осредняемого признака «урожайность» является валовой сбор сельскохозяйственных структур со всей площади: w=xf, где x – урожайность отдельных культур, ц/га; f – посевная площадь, га.

      Если  в исходных данных имеются значения осредняемого признака x и объем осредняемого признака w, то для расчета средней применяется гармоническая взвешанная:

, где

 x – значение осредняемого признака;

w – вес варианты x, объем осредняемого признака.

      Средняя выработка продукции на одного рабочего за смену в двух цехах завода, вырабатывающих однородную продукцию, характеризуется следующими данными (табл 2.1).

Таблица 2.1

Распределение рабочих по уровню сменной выработки

№ бригады	Цех №1		№ бригады	Цех № 2
	дневная выработка продукции x1,шт	число рабочих  f1, чел.		дневная выработка продукции x2,шт	число рабочих  f2, чел.
1	20	8	4	38	418
2	30	11	5	36	432
3	35	16	6	20	140

      Определим среднедневную выработку продукции  рабочими в каждом из цехов. введем условные обозначения, приняв за x₁ выработку продукции рабочими первого цеха; x₂ – выработку продукции рабочими второго цеха; f – число рабочих первого цеха; w – объем произведенной продукции рабочими второго цеха.

      В сведениях по первому цеху кроме  осредняемого признака x₁ имеются данные о числе рабочих с каждым уровнем выработки f₁, следовательно, для расчета средней применима форула средней арифметической взвешенной:

 

      Каждый  рабочий первого цеха за смену производит в среднем 30 единиц продукции.

      По  второму цеху известны значения осредняемого признака x₂ и объем произведенной продукции. последний определяется умножением выработки одного рабочего x₂ на число рабочих f₂ т.е.. количество произведенной продукции является объемом осредняемого признака: w₂=x₂f₂.

      Поскольку в исходных данных наряду со значениями x₂ присутствуют значения w₂, для расчета средней по второму цеху применима формула средней гармонической взвешенной:

 

     Каждый  рабочий второго цеха за смену  производит в среднем 33 единицы продукции.

      Средняя геометрическая.

     Средняя геометрическая применяется в тех  случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

     Средняя геометрическая исчисляется извлечением  корня степени  из произведений отдельных значений — вариантов признака х.

,

где n - число вариантов; - знак произведения.

      Если  минимальный размер выигрыша в лотерее 100 руб., а максимальный 1 млн руб., то средний размер выигрыша:

 

  Пусть цены в первом полугодии ежемесячно возрастали следующим образом: в январе в 1,02 раза; феврале – в 1,04; марте – в 1,03; апреле – в 1,04; мае – в 1,02; июне – в1,06 раза.

      Среднее изменение цен:

или 103,5%

     В пером полугодии цены ежемесячно возрастали в среднем в 10,35 раза, или 3,5%.

     Наиболее  широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних  темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

      Средняя квадратическая и средняя кубическая.

     В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны кубов).

     Формулы для расчета средней квадратической:

     Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного отделения суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

      

     Средняя квадратическая взвешенная:

,

 где  f - веса.

Например, имеются три участка земельной  площади со сторонами квадрата: х₁ = 100 м; х₂ = 200 м; х₃ =300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, нужно исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100+ 200 + 300) : 3 =200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна: 3∙(200 м)2 = 120 000 м². В то же время площадь исходных трех участков равна: (100 м)2 + (200 м) + (300 м)2 = 140 000 м . Правильный ответ дает квадратическая средняя:

  м. 

     Формулы для расчета  средней  кубической:

     Средняя кубическая простая:

    

     Средняя кубическая взвешенная:

 

     Средние квадратическая и кубическая имеют  ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов х, и из их отклонений от средней  при расчете показателей вариации. Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).

2.2 Структурные средние.

     Особый  вид средних величин – структурные  средние – применяется для  изучения внутреннего строения рядов  распределения значений признака, а  также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся  статическим данным ее расчет не может  быть выполнен. К таким показателям относятся мода и медиана.

     Мода  — это наиболее часто встречающийся  вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

      , где

x₀ – нижняя граница модального интервала;

i – величина интервала;

f_m – частота модального интервала;

f_m-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_m+1 – частота интервала, следующего за модальным.

     Мода  широко используется в статистической практике при изучение покупательского  спроса, регистрации цен и т.п.

     Таблица 2.2

     Данные  выборочного обследования потребляемой женщинами обуви

Размер  обуви	32	33	34	35	35	37	38	39	40	41	42
Количество  опрошенных женщин	6	33	247	910	2093	2696	1923	1196	283	51	55

     Как видно из приведенного вариационного  ряда, наиболее часто встречающейся величиной, т.е. модой этого ряда, является размер обуви 37, который носит 2696 женщин из опрошенных 9493 человек.

     Несколько сложнее определение моды в интервальном вариационном ряду (табл 2.3). в этих случаях необходимо моду находить расчетным путем по формуле:

      

     Таблица 2.3

     Группировочные  данные по торговой площади магазинов

Торговая  площадь магазинов, кв. м	Число магазинов, единиц
До 100	3
От 10 до 120	13
От 120 до 140	15
	Продолжение таблицы 2.3
От 140 до 160	20
От 160 до 180	8
Свыше 180	1
ИТОГО	60