Производство продукции; численность работающих; численность населения; численность официально зарегистрированных безработных

            По 3-ему способу – средняя  гармоническая 

По 4-ому способу  – простая средняя  

 

А) средняя  агрегатная употребляется в статистике часто, так как в отчетности обычно содержатся итоговые суммы по ряду признаков, и достаточно итог по одной графе разделить на итог по другой графе.

Б) средняя  арифметическая применяется только в тех случаях, когда есть данные о распределении численности  единиц какой-либо совокупности по величине усредняемого признака.

В) средняя  гармоническая применяется реже, тогда, когда известны отдельные  варианты усредняемого признака Х и  соответствующего им значения другого  признака W.

Г) простая  средняя применяется широко в  математике, но в статистике дает ошибки.

3.3.Простая  и взвешенная средняя

      Поскольку простые (не взвешенные) средние могут давать ошибочные  результаты, то необходимо при  расчете средних величин определять  средние взвешенные.

     Например, в фирме работает 1 вспомогательный  рабочий с заработной платой 500 руб./день, 3 основных работника –  600 руб./день, руководитель и заместитель  руководителя – 700 руб./день.

                         

Но при расчете этим способом, могут появиться ошибки, которые связаны с тем, что  имеются разные удельные веса у отдельных  единиц, поэтому надо учитывать эти  веса.

    Например, требуется определить средний  выход продукции предприятия  при следующих данных с единицы  площади.

Таблица 2

№ цеха	Производственные площади		Выход продукции с 1м2
	м2	В % к итогу
1	1198,5	20,4	19,2
2	1034,0	17,6	10,8
3	1222,0	20,8	11,5
4	2420,5	41,9	15,4
Итого	5875,0	100%

 

Рассчитаем  простую среднюю (не взвешенную)

3.4.Мода и медиана в статистике

        В отдельных случаях в статистике  для характеристики типичных  размеров изучаемого признака применяют моду. Мода обычно используется в тех случаях, когда сложно исчислить средние размеры признака по обычным формулам. В статистике модой называется величина признака, чаще всего встречающаяся в данной совокупности.

    Например:

 а) требуется  определить средний тарифный  разряд рабочих цеха при следующих  данных

Таблица 3

Тариф. разряд	1	2	3	4	5	6
Численность рабочих, %	5,4	15,9	30,7	27,4	10,3	4,3

 М₀ – 3 разряд.

б) требуется  определить средний стаж работы рабочих  предприятия по следующим данным

Таблица 4

Стаж работы, лет	Численность рабочих, чел.
До 3	12
От 3 до 6	18
От 6 до 9	27
От 9 до 12	32
От 12 до 15	24
От 15 до 18	16
Свыше 18	5
	132

 

          , где

Х₀ – начальная граница модального признака, то есть признака, обладающего наибольшей численностью в данной совокупности.

d – величина модального интервала

f_m – частота модального интервала

f_m-1 – частота интервала, предшествующего модальному

f_m+1 – частота интервала, следующего за модальным

   Медианой в статистике называют вариант, делящий численность упорядоченного ряда на две равные части. Упорядоченный ряд – построенный в порядке возрастания или убывания признака.

Здесь возможны 2 случая:

а).  нечетное число показателей в ряду

б).  четное число показателей в ряду

а).  если нечетное число показателей, то за медиану  берется середина ряда.

  Например:

 а).  дневной  заработок 5 работников составил: 1 – 60 руб., 2 – 65 руб., 3 – 70 руб., 4 – 75 руб., 5 – 80 руб.            М_е=70 руб.

б) если четное число, то за медиану принимается  средняя величина из двух показателей, находящихся в середине ряда.

Например, надо определить медиану из 6 работников: 1 – 60 руб., 2 – 65 руб., 3 – 70 руб.,  4 – 74 руб., 5 – 80 руб., 6 – 83 руб.          М_е=

Для четного  ряда следует принимать среднее  из двух вариантов, находящихся в  середине ряда. В интервальном ряду медиана определяется по формуле:

Me =( х Me  + i Me* ½ ∑ f +1 - S Me-1)/ f M

   х Me  - начало медианного интервала;                             

   i Me - величина медиааного интервала;

   ∑f - сумма частот (частностей) вариационного ряда;

     f Me  - частота (частность) медианного интервала;

  S Me-1 -   сумма накопленных частот (частностей) в домедианном интервале.

Медианный интервал – это интервал, в котором  находится порядковый номер медианы. Для его определения необходимо подсчитать сумму накопленных частот (частностей) до числа превышающего половину объема совокупности.

Медиану приближено можно определить графически – по кумуляте. Для этого высоту наибольшей ординаты, которая соответствует  общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с  кумулятой. Абсцисса точки пересечения  и является медианой.[6, стр.23-26]

3.5.Размах  вариации

    Признаки, изучаемые статистикой, подвержены  колебаниям. Эти колебания зависят  от ряда факторов, которые анализируются  на практике. Чтобы исследовать  колебания признака применяется  размах вариации.

    Размах  вариации – разность между  наибольшим и наименьшим значением  признака.

Например, определить размах вариации у работников по стажу  работы при следующих данных:

 

 

Таблица 5

Стаж работы, лет	Количество работающих
	Цех №1	Цех №2
12-14	12	-
14-16	25	-
16-18	43	68
18-20	64	67
20-22	30	34
22-24	16	36
Итого	190	205

 

Как видно  из данных, величина стажа работы в  цехе №1 колеблется от 12 до 24 лет, а в  цехе №2 от 16 до 24 лет.

     Размах вариации дает представление  о величине колеблемости признака. В цехе №1 – 12 лет (24-12), в  цех №2 – 8 лет (24-16). Таким  образом, величина размаха вариации  зависит от двух крайних значений  признака. Где размах вариации  больше, тем хуже для предприятия.  [7,стр.99]

3.6.Среднее линейное отклонение

  Средним линейным  отклонением является величина  отклонения от средней, взятая  без учета алгебраического знака.  Исчисленная    таким образом  величина среднего отклонения  называется средним линейным  отклонением. В практике следует  иметь в виду, что величины  линейного отклонения различных  вариационных рядов можно сравнить  лишь в том случае, если эти  ряды характеризуются примерно  одинаковыми средними. А так как   это бывает в практике не  всегда, то для сопоставления  колеблимости исчисляются относительные  показатели колеблимости, то есть  относят линейные отклонения  к арифметической средней.

Используя ранее принятые обозначения варьирующего признака, веса и средней, можно порядок  расчета среднего линейного отклонения записать в виде формулы:

     d =  ∑ |Xi – X|*fi 

∑fi

Xi − значение признака в i-й группе (для интервальных вариационных рядов середина i- го интервала;

X − средняя величина признака в совокупности;

fi − частота (частотность) i-го интервала.

Но в случае, если варианты в распределении признака не повторяются, то

среднее линейное отклонение рассчитывается по следующей формуле:

     d =  ∑ |Xi – X| 

  n

Например, требуется определить среднее линейное отклонение выполнения норм выработки  рабочими двух бригад.

Таблица 6

1 бригада				2 бригада
% выполн. нормы Х		Оклон от средней Х-Х	Абсол. знач. отклонения	% выполн. нормы Х	Оклон от средней Х-Х	Абсол. знач. отклонения
74		-50	50	103	-17	17
86		-38	38	113	-12	12
112		-12	12	114	-11	11
116		-8	8	121	-4	4
1		2	3	4	5	6
131		+7	7	122	-3	3
134		+10	10	127	+2	2
155		+31	31	130	+5	5
184		+60	60	132	+7	7
-		-	-	138	+13	13
-		-	-	145	+20	20
	992		216	1250		94

 

Примечание:

1) из отчетных  материалов выписывают показатели  признака (Х)

2) находят  средний показатель признака

               %

3) находят  отклонение от средней по каждому  рабочему

4) определяют  абсолютное значение отклонений   %

Как видно  из таблицы, средний % выполнения норм для первой бригады – 124%, для второй бригады – 125%.

Таким образом, и первая, и вторая бригады характеризуются  примерно одинаковым средним процентом  выполнения норм выработки (124% и 125%).

Вычислим  среднее линейное отклонение для  первой бригады  % и для второй %

Вывод: колеблимость 1 ряда в три  раза выше колеблимости 2 ряда. Чем выше колеблимость, тем хуже.

 

3.7.Дисперсия

     Средним квадратичным отклонением  называется средний показатель  отклонений от средней ( ). Средний показатель из отклонения от средней может быть получен, если сначала все отклонения возвести в квадрат, найти из квадратов среднюю арифметическую, а затем из полученной величины извлечь квадратный корень.

  Средняя  арифметическая из квадратов  отклонений называется дисперсией (õ²).

Например, надо найти среднее квадратичное отклонение и дисперсию по расходу топлива  на единицу выпускаемого изделия  одного вида (по 4 предприятиям).

Таблица 7

№ предпр.	Расход топлива на 1 изделия, кг, Х	Выработано изделий, f	Откл. от сред.  Х-	Квадратич. откл. (Х- )2	Взвеш. квадраты откл.
1	7	1000	-1,75	3,0975	3097,5
2	8	2000	-0,75	0,5775	1155,0
3	10	1200	+1,25	1,5375	1845,1
4	10	800	+1,25	1,5375	1230,0
Итого	35