Развитие пространственных представлений учащихся в курсе математики начальной школы

    Как отмечалось в предыдущей главе, развитие пространственных представлений и  формирование на их основе пространственного  мышления школьников является важнейшей  частью их интеллектуального развития в целом, поскольку играет большую роль не только при изучении геометрии, но и других учебных дисциплин. В частности,  без сформированных  пространственных представлений, на наш взгляд, невозможно эффективное изучение рисования, черчения, физики, географии, технологии и ряда других школьных предметов. Наличие хорошего пространственного воображения  необходимо и инженеру, и дизайнеру, и компьютерщику, и экономисту и специалистам многих других профессий. Невысокий уровень развития пространственного мышления и пространственного воображения на начальной ступени обучения является для ученика среднего и старшего звена обучения непреодолимым камнем преткновения для дальнейшей учебы. Формировать пространственные представления у 15-летних детей, рассчитывая, что это можно сделать быстро, - задача практически не выполнимая. Таким образом мы вновь приходим к выводу о том, что формирование пространственного мышления должно начинаться в начальной школе, поскольку этот возраст, благодаря специфике психологического развития, наиболее благоприятен для формирования как базовой, так и операциональной стороны пространственного мышления.

    Прежде  чем говорить о методике формирования пространственных представлений необходимо выявить сами принципы построения системы  обучения младших школьников элементам геометрии, надо ответить на вопрос: зачем обучать геометрии в начальной школе, почему в настоящее время общепризнанна необходимость более широкого включения геометрических знаний в систему начального математического образования. В значительной мере это связано с тем, что давно отмечаемые трудности усвоения многими школьниками курса геометрии уходят корнями в начальную математическую подготовку. Действительно, содержательный геометрический материал (особенно для развития пространственных представлений) в курсе математики начальных классов, несмотря на разнообразие существующих сегодня систем обучения, практически отсутствует, о чем было сказано выше. Обучение элементам геометрии в начальной школе сводится, как правило, к ознакомлению с простейшими плоскими фигурами и измерению геометрических величин инструментальными средствами, а с пространственными фигурами и того менее.

    Такое положение противоречит, во-первых, опыту ориентирования в пространстве и оперирования трехмерными телами, с которыми ребенок приходит в школу, а во-вторых, результатам детской психологии. Еще Ж. Пиаже показал, что развитие геометрических (пространственных) представлений детей идет от топологических к проективным и лишь затем к метрическим, то есть от геометрии «формы и положения» к геометрии «меры». Как следствие, пространственное мышление детей оказывается недостаточно развитым, так как именно младший школьный возраст для его развития является наиболее благоприятным периодом. Этим в значительной мере обусловлены трудности изучения геометрии, особенно стереометрии, в старших классах. Но математика едина, и геометрия составляет ее органическую часть. Ослабление геометрической подготовки в аспекте развития пространственных представлений в начальной школе не только разрывает эту органическую связь, но и делает проблематичным решение важнейшей задачи общего математического образования – формирования культуры мышления. Геометрические же знания, в том числе и пространственные представления, получаемые детьми в начальной школе, не только скудны, но и носят догматический характер, что приводит к тому, что школьники не испытывают никакой потребности в обосновании их истинности.

    В отличие от арифметики, изучение геометрии  в пространстве требует преимущественно  эмоционально-образных познавательных стратегий, органичных для младших школьников, и потому является исключительно важным для полноценного интеллектуального, эмоционального и эстетического развития детей. В силу того, что умение ориентироваться в пространстве составляет необходимый компонент любого вида учебной деятельности, систематические занятия геометрией способствуют также общей успешности учения на начальной ступени обучения. Исходя из этого, можно выделить следующие взаимосвязанные цели изучения геометрии в начальной школе:

• Развитие пространственного мышления детей как разновидности образного;
• Ознакомление ребенка с органическими для него геометрическими методами познания как естественной составляющей математических методов;
• Подготовка младших школьников к усвоению понятия о пространственности реального мира.

    Методы  обучения младших школьников как  вообще геометрии, так и пространственным представлениям в том числе, определяются, прежде всего, особенностями познавательных возможностей детей, а также самим  предметом геометрии как науки  о свойствах геометрических фигур.

    Геометрические  фигуры – это пространственные формы  в «чистом виде», потому методы геометрии  необходимо умозрительны. Но при первоначальном знакомстве с геометрией, в том  числе  - пространственной, опора  на наглядные представления неизбежна, поэтому использование метода наглядности при формировании пространственных представлений является существенным. По словам Д. Гильберта: «тенденция к наглядности… стремится к живому пониманию объектов и их внутренних отношений…. Наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии. Руководствуясь непосредственным созерцанием, можно уяснить многие геометрические факты, а также увидеть богатство содержащихся в ней идей и методов исследования».

    При изучении геометрии младшими школьниками опираться только на непосредственное созерцание недостаточно. Так как моторика ребенка и связанное с ней мышечное чувство играет в развитии психики, интеллекта и личности фундаментальную роль, то наглядное обучение пространственным представлениям должно обеспечить возможность оперировать предметными моделями идеальных геометрических объектов, выявлять геометрические факты методами физического эксперимента наряду с экспериментом мысленным. Это значит, что любое новое представление ребенка об объекте должно быть получено в результате активных действий самого ребенка, направленных на преобразование объекта. Отсюда с неизбежностью вытекает необходимость  использования при формировании пространственного мышления  младших школьников  экспериментального метода.

    На всех этапах изучения геометрии в школе, в том числе и в начальных классах, ученики имеют дело с графическими моделями геометрических фигур, реализованными на плоском листе бумаги. Это значит, что изображения пространственных фигур, а именно с них надо начинать обучение геометрии,  должны быть в максимальной степени наглядными и правильными. В то же время такое положение требует от учащихся умения «читать» графическую информацию, умения оперировать такой информацией. Это умение состоит, с одной стороны, из умения представлять умозрительный образ, заданный его изображением, а с другой – изображать геометрический объект, заданный другими способами, например, вербальным описанием или предметной моделью, изготовленной из тех или иных материалов. Таким образом,  еще одним из методов формирования пространственных представлений младшего школьника  является графическое моделирование, которое, являясь универсальным методом обучения геометрии, выступает одновременно и как средство, и как цель обучения.

    Задача  эффективного развития пространственных представлений как основы пространственного  мышления может быть решена только в том случае, если выделение геометрических фигур направляется «сверху вниз», то есть от пространственных форм и  пространственных отношений к плоским, как естественным составляющим пространственных. Это значит, что пространственные и плоские геометрические фигуры должны изучаться взаимосвязано и взаимозависимо, то есть на основе принципа фузионизма. Процесс мысленного конструирования геометрических образов в целом, доминирующий на начальном этапе обучения, опирается на интуитивно понятное отношение прикосновения. Это отношение наглядно отражает свойство непрерывности, являющееся предметом изучения топологии, выделяя качественные свойства геометрических фигур и их положение в пространстве. Слово «топология», введенное И. Листингом, определяет область математики, в которой изучается взаимное расположение в пространстве поверхностей, линий, точек и развиваются соответствующие методы исследований. В топологии изучаются такие свойства геометрических фигур, которые остаются неизменными при любых деформациях фигуры, не допускающих её разрывов и склеивания, то есть не нарушающих отношения прикосновения. Топологические свойства являются наиболее устойчивыми, и именно они, по мнению психологов, первыми в объектах выделяются детьми младшего школьного возраста. Таким образом, возникает целесообразность использования в начальных классах при формировании пространственного мышления учащихся элементарных понятий топологии.

    Подводя итог сказанному выше, необходимо указать  на то, что содержание обучения геометрии младших школьников диктуется возможностью выделить  наглядно – практически  и наглядно – эвристически геометрические объекты как обобщенные мысленные образы наблюдаемых предметов. 
 

2.2. Приемы развития  пространственных  представлений младших  школьников. 

     Изучая  методические разработки и рекомендации о путях и способах формирования пространственных представлений у  учащихся, можно заметить, что подавляющее большинство из них (и теоретически, и исходя из опыта работы) приходят к выводу о необходимости:

• используя способность детей шестилетнего возраста к восприятию формы начинать формирование пространственных представлений с первых уроков математики в 1-м классе. При знакомстве учеников с геометрическими фигурами следует опираться не только на зрительное восприятие образа ребенком, но и на все другие анализаторы, учитывая мнение психолога Е. Г. Ананьева о том, что связующая роль между всеми анализаторами принадлежит двигательно-кинестетическому анализатору;
• придерживаясь последовательности изучения геометрического материала в начальной школе, предусмотренного учебными программами по математике,  в первую очередь помочь детям осмыслить основные пространственные отношения, какие, как: быть впереди, находиться между, находиться на противоположной стороне, быть внутри, следовать за, и так далее. Среди них особым видом выделяются такие отношения, как: справа - слева, ближе – дальше, вверху – внизу, над – под, оперирование которыми, в силу их относительности, вызывает значительные трудности.

    При формировании таких отношений основными практическими действиями ребенка должны выступать действия по раскрашиванию предметных картинок, рисование «дорожек», обозначение предметов буквами, с помощью которых фиксируется результат мыслительной деятельности по осознанию опыта ориентации в привычном пространстве и начинается овладение простейшими графическими умениями. В частности,  И. В. Шадрина рекомендует при формировании названных отношений использование, например, таких заданий:

1. Раскрась кольца пирамидки, если желтое кольцо находится между красным и синим кольцами, а синее между желтым и зеленым (рис 1).

      Рис 1.

2. По щучьему  велению ведра с водой ходят  в избу сами так, что озеро  всегда остается от Емели справа. Нарисуй дорожку, по которой  ходит Емеля (рис. 2). 
 
 

      Рис. 2 
 

3. Мартышка, попугай, слоненок и удав отправляются  в путешествие. «Все садятся  в вагоны, следующие за моим», - приказала мартышка. «Я поеду  между слоненком и удавом», - сказал  попугай.  «А  я поеду за попугаем», - промолвил слоненок. Обозначьте нужной буквой  вагон, в котором поедет каждый из друзей (рис. 3).

   Рис. 3 

      Формирование пространственных  представлений  учеников начальных  классов может осуществляться  путем использования некоторых  топологических свойств поверхностей (в частности отсутствия связи между формой и размером). Для этого можно применять такие задания, как раскрашивание многоугольных областей, построение плоских графов, поиск путей в графе. Различные способы вложения в пространство можно увидеть, экспериментируя с узлами и зацеплениями, и так далее.  Приведем несколько заданий такого типа.

1. Три кольца сцеплены так, как показано на рисунке.

Вырежи  кольца и, разрезав только одно из них, сделай

 зацепление, показанное на рисунке 4.                                                                         Рис. 4 

      . 

2. Закончи раскраску  фигуры так, чтобы соседние  области были одного цвета.  Используй только те цвета,  которые есть на рисунке 5.

                           Рис. 5.           

3. Два дома  соединены пешеходными дорожками.  Нарисуй линией путь, по которому  можно обойти все дорожки только  по одному разу, если прогулку  надо начать и закончить у  дома, изображенного слева (рис. 6).