Применение нечетких множеств при решении экономических задач

В качестве примера рассмотрим универсальное множество X возможных значений толщины листов металлического проката в диапазоне от 9,8 до 11,2 мм. Тогда нечеткое множество А, которое соответствует нечеткому понятию "малая толщина листа", может быть представлено в следующем виде:

В этом случае его носителем выступает четкое множество значений толщины листа проката в диапазоне от 9,8 до 10,7 мм, то есть suppA={9,8; 9,9;...10,7}. В качестве абстрактного примера рассмотрим нечеткое множество

.

В соответствии с определение, его носителем будет обычное множество

supp В ={х₁, х₃, х₄, х₆, х₇, х₈,}

Определение 4. Нечеткое множество А называется нормальным, если для его функции принадлежности выполняется следующее условие:

, где .

Отметим, что в отличие от четких множеств, где условием включения множества В в множество А выступала только принадлежность всех элементов В множеству А, для нечетких множеств этого недостаточно. Здесь условие включения является более строгим.

В противном случае нечеткое множество А принято считать субнормальным.

Определение 5. Говорят, что нечеткое множество А включает в себя нечеткое множество В, то есть или , если выполняется неравенство

  для любого . 

2.2. Операции над нечеткими множествами. 

Поскольку нечеткие множества по определению представляют собой определенное обобщение понятия обычных (четких) множеств, операции над ними также могут рассматриваться как соответствующее обобщение понятий операций над обычными множествами. При этом, естественно, наиболее характерным отличием здесь выступает необходимость определения правил вычисления функции принадлежности для результата каждой конкретной операции над нечеткими множествами по заданным функциям принадлежности исходных множеств.

Для того, чтобы ввести понятия операций, в дальнейшем будем рассматривать два нечетких множества А и В на универсальном множестве X с заданными соответственно их функциями принадлежности, равными соответственно и .

Объединением нечетких множеств А и В на универсальном множестве X называется такое нечеткое множество , функция принадлежности которого имеет следующий вид

. 
 

Замечание 1. Операцию объединения нечетких множеств нетрудно обобщить на случай произвольного числа п этих множеств A_i   с   функциями   принадлежности   . Действительно,   для функция принадлежности может быть получена как

.  

Замечание 2. Наряду с приведенным выше определением операции объединения нечетких множеств, в литературе встречается и иногда используется и другой его вариант, в соответствии с которым объединением нечетких множеств А и В на универсальном множестве X называют нечеткое множество с функцией принадлежности, правило вычисления которой имеет следующий вид:

Пересечением нечетких множеств А и В на универсальном множестве X называется нечеткое множество с функцией принадлежности, которая вычисляется в соответствии со следующим правилом:

.

Замечание 1. Операцию пересечения нечетких множеств нетрудно обобщить на случай произвольного числа п этих множеств A_i с функциями принадлежности Действительно, для функция принадлежности может быть получена как

Замечание 2. Как и для случая операции объединения двух нечетких множеств, наряду с приведенным выше определением пересечения нечетких множеств, в литературе иногда встречается и находит свое практическое применение и другой его вариант, согласно которому пересечением нечетких множеств А и В на универсальном множестве X называют такое нечеткое множество , правило вычисления функции принадлежности для которого имеет следующий вид:

.

Дополнением нечеткого множества А на универсальном множестве X называется нечеткое множество А с функцией принадлежности, которая вычисляется в соответствии со следующим правилом:

.

x

 

Разностью нечетких множеств А и В на некотором универсальном множестве называется такое нечеткое множество С = А\В, функция принадлежности которого вычисляется в соответствии с правилом, имеющим следующий вид:

 

Декартовым произведением нечетких множеств на множествах называется нечеткое множество А на декартовом произведении , элементами которого являются наборы , а функция их принадлежности имеет вид

 

Смысл такого определения функции принадлежности декартова произведения нечетких множеств состоит в том, что фактическая возможность принятия решения определяется наименьшей из возможностей элементов данного набора.

Например, если студент-троечник женится на девушке-отличнице, то в ситуации, к какой категории в смысле успеваемости отнести их семью, оценка будет осуществляться по более низкому значению получаемых ими баллов. И никому не придет в голову мысль считать их отличниками.

Другой пример можно получить в ситуации выбора рационального варианта необходимого человеку товара, когда он в пространстве параметров "цена-качество" обычно исходит из располагаемых финансовых ресурсов.

Выпуклой комбинацией нечетких множеств на множестве X называется

нечеткое множество  A, функция принадлежности которого имеет вид

 

где . 

Понятие выпуклой комбинации нечетких множеств используется в задачах принятия решений в условиях нескольких нечетких ограничений. Следует отметить, что для обычных множеств понятие выпуклой комбинации не имеет смысла. 

Операции концентрирования CON и растяжения DIL нечеткого множества A определяются следующим образом:

CON А=

DILA =

,

где α >1 - коэффициент концентрации (или, соответственно, растяжения), а функции принадлежности соответствующих нечетких множеств имеют вид

 

Cмысл состоит в том, что операция концентрирования CON А снижает степень нечеткости описания множества A, а операция растяжения DIL А повышает степень его нечеткости. В реальных задачах принятия решений применение операции концентрирования может означать, что в распоряжение эксперта или лица, принимающего решение, поступила некоторая дополнительная информация о ситуации, и эта информация позволяет частично снять имеющуюся неопределенность и дает возможность более четко описать данное нечеткое множество возможных альтернатив.

Операция сжатия, напротив, используется для моделирования ситуаций связанных с потерей информации или отсутствием своевременного ее обновления, что увеличивает степень нечеткости ситуации, а, следовательно, и неопределенности принятия решения. 

 

     Глава 3. Практическое применение теории нечетких множеств.

      

     Многокритериальный выбор методом максиминной свертки в сфере банковского кредитования.

 

Рассмотрим применение метода принятия решений, основанного  на теории нечетких множеств в области  кредитования, позволяющего повысить обоснованность принимаемых решений  и обеспечить выбор наиболее рационального  варианта из множества допустимых.

В рассматриваемой задаче предприятия являются альтернативами, из которых предстоит сделать выбор лучшей.

Альтернативы  обозначим через а1, ...,a4.

Для оценки кредитоспособности предприятий-заемщиков используем данные их бухгалтерской отчетности (табл. 1).  

     Таблица 1

     Данные  бухгалтерской отчетности