Применение нечетких множеств при решении экономических задач

 

4. графическое представление множества с помощью определенного базового множества (существуют различные варианты использования этого способа). Простейшим примером может служить график, приведенный на рис. 1, который

представляет множество     , содержащее квадраты чисел, являющихся элементами базового множества действительных чисел.

 

5) описание множества с помощью функции принадлежности элемента к данному множеству. Для иллюстрации этого способа представим    некоторое    универсальное    множество    в    виде  .

Пусть в нем существует подмножество , которое образуют элементы универсального множества, имеющие нечетный индекс. Другими словами, В соответствии с предложенным способом описания это множество можно представить в виде всей совокупности элементов универсального множества X с соответствующим значением так называемой функции принадлежности, равной единице, если элемент принадлежит множеству , и нулю - в противном случае. Таким образом, для элементов с нечетными индексами она будет равна единице, а с четными - нулю. Тогда множество принимает вид

Этот способ представления множеств может показаться не совсем обычным и даже несколько экзотическим и громоздким. Однако в реальной действительности он является достаточно удобным.

Основная особенность и глубинная сущность этого способа заключается в своеобразном "маркировании" именно тех элементов, которые образуют рассматриваемое множество , означающей их принадлежность к нему. В реальной жизни также существует достаточно много подобных подходов. Например, форма, в которую одевают военных или работников милиции, предназначена для того, чтобы выделять представителей этих социальных институтов из множества всех других людей.

Дальнейшим развитием этой "маркировки" выступают знаки различия, соответствующие воинским званиям, эмблемы рода войск и т.п., которые как бы выделяют отдельные подмножества из общих множеств военных или работников милиции.

Именно этот способ и создает в дальнейшем удобные предпосылки для перехода к понятию нечетких множеств. 

1.3. Операции над множествами.

Над множествами, как и над другими математическими объектами, определяется некоторая совокупность операций. Рассмотрим основные из них.

Подмножеством А некоторого универсального множества называют множество, все элементы которого принадлежат этому универсальному множеству и обладают еще каким-либо особым ограничительным свойством.

Включением В в А для двух множеств из универсального множества X называют случай, когда все элементы множества В принадлежат множеству А. Употребляют также термины "В содержится в А", или "А содержит В", или "В представляет собой часть А". Для обозначения включения используют запись

  или

Например, множество Р четных числе содержится в множестве натуральных числе N, то есть представляет собой его подмножество

Объединением множеств А и В из некоторого универсального множества X называется множество из этого же универсального множества X, элементами которого являются все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих исходных множеств, то есть принадлежат множеству А или множеству В.

Пусть, например, на базовом множестве

.

заданы множества и .Тогда их объединением будет множество

.

Пересечением множеств А и В из универсального множества X называется множество из этого же универсального множества Х элементами которого являются все элементы, принадлежащие одновременно как множеству А так и множеству В.

Пусть, например, на том же базовом множестве Х что рассматривалось в предыдущем примере, то есть на заданы те же множества и . Тогда их пересечением будет множество .

Таким образом, пересечение множеств А и В состоит из их общих элементов. Если общих элементов эти множества не содержат, то , и такие множества называют непересекающимися.

Вполне очевидно, что и для объединения, и для пересечения множеств справедливы свойства коммутативности, то есть

 

и ассоциативности, то есть

(A

B)

(A

B)  

Дополнением множества А из некоторого универсального множества X называется множество , которое образовано всеми теми элементами этого универсального множества, которые не входят в состав множества A.

Возьмем универсальное множество

и заданное на нем множество из предыдущих примеров. Заметим, что в этом случае можно говорить о том, что А представляет собой некоторое подмножество множества X. Тогда дополнение множества А до универсального множества X будет иметь следующий вид:

.

Представляется вполне очевидным, что объединением множества A на универсальном множестве X с его дополнением к этому множеству будет само универсальное множество Х_, то есть .

Также очевидно, что пересечением множества А на универсальном множестве X с его дополнением к этому множеству будет пустое множество, то есть .

Кроме того, несложно проверить, что дополнением на множестве X к дополнению произвольного множества А будет само же это множество, то есть .

Представляются вполне очевидными следующие утверждения:

1. пустое множество Ø может рассматриваться как подмножество любого множества А, то есть
2. любое множество А может рассматриваться как подмножество самого себя, то есть . Поскольку же одновременно A = A, то для подобных случаев вводится обозначение ⊆. Другими словами, .
3. Основные свойства, которыми обладают операции объединения, пересечения и дополнения множеств, приведем для удобства в виде таблицы .

 
 

Отметим, что свойство идемпотентности операций объединения и пересечения множеств предопределяет возможность записывать математические и логические формулы, которые содержат знаки объединения и пересечения одинаковых множеств, без коэффициентов и показателей степени.

1.4. Диаграммы Эйлера-Венна. 

Для наглядного представления множеств и более глубокого понимания сущности и свойств операций над ними в теории множеств нашла широкое применение геометрическая интерпретация указанных свойств операций над множествами. Чрезвычайно удобным и простым инструментарием для этого оказались так называемые диаграммы Эйлера-Венна. Так, на рис. точки области, ограниченной квадратом, можно рассматривать как некоторое базовое, или универсальное множество X. Тогда область, ограниченная окружностью, представляет собой подмножество А этого универсального множества.

Рис.2

При такой геометрической интерпретации множеств те точки квадрата, которые не принадлежат подмножеству А, то есть лежащие вне круга, в заштрихованной части квадрата, представляют собой дополнение подмножества А до универсального множества X. Здесь четко видно, что о дополнении до А можно действительно говорить только относительно некоторого универсального множества.

На последующих двух рисунках приведена геометрическая интерпретация операций соответственно объединения (рис. 3) и пересечения (рис. 4) множеств А и В. 

                                      

рис.3                         рис.4 
 

Здесь множества, получаемые в результате указанных операций, представлены точками заштрихованных областей в поле квадрата универсального множества. Одновременно следует обратить внимание на то, что внешняя по отношению к результатам соответствующих операций, то есть незаштрихованая часть квадрата представляет собой дополнение до объединения множеств А и В на рис. 3 и дополнение до их пересечения на рис. 4.