Применение нечетких множеств при решении экономических задач

С помощью приведенных рисунков можно наглядно убедиться в том, что операции объединения и пересечения множеств действительно обладают следующими свойствами:

1) .

2) .

которые известны также под названиями соответственно первой и второй теорем де Моргана.

С использованием диаграмм Эйлера-Венна оказывается удобным ввести и еще две операции над множествами, результатами которых являются соответственно понятия разности множеств А и В и их дизъюнктивной суммы.

Если В ⊂ А, то разностью множеств А и В называется множество С=А\В, которое состоит из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Наглядно это понятие легко представить и осознать с помощью рис. 5, на котором точки, принадлежащие разности С=А\В, представляют собой заштрихованную область.

Рис.5

 Использование диаграммы, приведенной на рис. 5, облегчает понимание и способа нахождения разности множеств А и В с помощью формулы

С = А/В = A∩ .

Дизъюнктивной суммой множеств А и В принято называть множество элементов, принадлежащих либо исключительно множеству А, либо исключительно множеству В. Эта операция обычно обозначается формулой S = А В. С помощью геометрической интерпретации этой операции путем использования диаграмм Эйлера-Венна нетрудно убедиться в том, что

А В = (А∩ ) ( ∩В) = (А В)∩  

Действительно, на рис. 6 вертикальная штриховка определяет область , а наклонная – область А В

Рис.6

 Таким образом, та часть площади квадрата, которая заштрихована двумя способами, и представляет собой область, принадлежащую дизъюнктивной сумме множеств А и В, то есть эта сумма действительно равна

Отметим, что операция дизъюнктивной суммы множеств обладает многочисленными свойствами. В частности, для нее справедливы следующие соотношения:

А

отражающее свойство коммутативности дизъюнктивной суммы,

(А

отражающее свойство ассоциативности дизъюнктивной суммы, и

А

отражающее существование нейтрального для дизъюнктивной суммы элемента, в качестве которого выступает пустое множество. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ. 

2.1. Основные  понятие нечетких множеств. 

В описании множества обычно должен содержаться некоторый четкий критерий, который позволяет делать обоснованный вывод о принадлежности или, наоборот, о непринадлежности каждого рассматриваемого элемента х к этому множеству. Однако часто при попытках математического описания, например, сложных систем социально-экономического, политического, технико-экономического и даже иногда сугубо технического характера язык теории обычных множеств оказывается недостаточно гибким. Располагаемая информация о подобных системах чаще всего бывает сформулирована с использованием нечетких с точки зрения математики понятий естественного языка, которые невозможно или очень сложно математически формализовать с помощью аппарата обычных множеств.

В качестве примера можно представить себе ситуацию, когда некоторые рабочие какого-то предприятия приобрели себе определенное количество его акций, однако продолжают работать на своих обычных рабочих местах. В этом случае при определении состава владельцев (акционеров) предприятия и его наемных работников к какой категории следует отнести указанных рабочих? Ведь с математической точки зрения они оказываются элементами, одновременно принадлежащими двум как будто бы различным множествам.

Еще одна интересная и показательная ситуация складывается, когда выпускник средней школы начинает выбирать высшее учебное заведение, студентом которого он хотел бы стать. Из определенного базового их множества юноша, несомненно, сразу же исключит те, которые ему по каким-либо причинам не нравятся и не подходят, и только оставшиеся будет рассматривать в дальнейшем. Однако и из тех, что привлекают его внимание, выбрать наилучший вуз удается далеко не сразу. Действительно, в одном из них есть военная кафедра. Во второй подает заявление девушка, которая нравится этому парню. Третий вуз в свое время закончили его родители, которые, естественно, считают его наилучшим. В этих условиях задача рационального выбора вуза, в который юноша будет поступать, приобретает характер достаточно сложной проблемы.

Попытки преодолеть отмеченные осложнения в подобных задачах и разработать математический аппарат для возможности формализованного описания и изучения подобных ситуаций, сложных систем и других важных для общественной практики явлений и вызвали появление и дальнейшее развитие теории нечетких множеств. Их несомненным достоинством следует считать не только возможность построения формализованных моделей в задачах, которые до этого с трудом поддавались или вообще не поддавались формализации. Использование аппарата теории нечетких множеств дало возможность получать строгие количественные оценки в задачах с нечеткими исходными условиями.

В то же время сама природа нечеткости, особенно той, что обусловлена субъективностью оценок, предопределяет относительность точности и обоснованности результатов, получаемых при решении подобных задач. Однако это обстоятельство не должно считаться серьезным недостатком нечеткомножественного подхода, поскольку применение других подходов вообще не дает возможности получения обоснованного их решения.

Для осознания сущности понятия нечеткого множества вспомним пятый способ представления обычных множеств с помощью, так называемой, функции принадлежности. Когда какой-либо элемент х некоторого универсального множества X принадлежит множеству А, ему в соответствие ставится значение этой функции, равное единице, а когда он не принадлежит этому множеству, ему ставится в соответствие ее значение, равное нулю. Исходя из этого, Л. Заде предложил так обобщить понимание функции принадлежности, чтобы она могла принимать не только указанные граничные значения 0 и 1, но и любые произвольные значения из интервала [0, 1], отражая возможность принадлежности какого-то элемента множеству А с некоторой степенью, меньшей единицы. Таким образом и появилось понятие нечетких множеств и начала развиваться их теория. Рассмотрим основные ее понятия и положения.

С этой целью введем в рассмотрение некоторое универсальное множество X, которое будем обозначать символом , где х - его произвольный элемент.

Определение 1. Нечетким множеством С на универсальном множестве X называется совокупность пар вида , где , а - функция принадлежности элемента х нечеткому множеству С, причем ∊ [0,1].

Численное значение функции для каждого конкретного элемента х определяет степень принадлежности этого элемента данному нечеткому множеству С.

В качестве примера можно привести множество студентов некоторой группы третьего курса, среди которых есть и такие, кто имеет академическую задолженность за второй курс. Именно вследствие этого обстоятельства их фактическая степень принадлежности множеству студентов третьего курса является меньшей единицы, причем, чем больше задолженностей у студента, тем меньше значение функции его принадлежности этому множеству. Представляется очевидным, что одновременно этих студентов можно с некоторым значением функции принадлежности 0< <1считать также и студентами второго курса, по крайней мере до ликвидации ими имеющейся академической задолженности.

Еще одним показательным примером, который достаточно наглядно объясняет сущность нечеткого множества и его природу, может служить множество моментов времени суток, которое образует день. При этом под днем можно условиться понимать светлое время суток. Здесь, во-первых, уже содержится субъективность определения, поскольку различные люди с разными мерками подходят к тому, что следует считать "светлым временем".

Во-вторых, начало и окончание дня как светлого времени суток существенно зависят от погоды, поскольку в облачный день темнеет заметно раньше. В-третьих, начало и окончание дня оказываются в еще более существенной зависимости от времени года. Действительно, в июне длительность дня почти вдвое больше, чем в декабре.

Оставляя несколько в стороне эти соображения, представим, что день начинается в восемь часов утра и заканчивается в восемнадцать. Покажем на рис , как этому временному интервалу соответствует постоянное значение функции принадлежности множества моментов времени, соответствующих дню, = 1, Будем считать также, что ночь начинается в двадцать часов и заканчивается в шесть часов утра. Другими словами, на временных интервалах от 0 до 6 часов и от 20 до 24 часов значение функции принадлежности множества моментов времени, соответствующих дню, . От шести же до восьми часов утра, как и от восемнадцати до двадцати часов значения функции принадлежности соответствующих моментов времени к множеству "день" будут лежать в интервале 0< <l.

Следует подчеркнуть, что такое определение имеет очевидное практическое предназначение, например, для регулирования систем автоматического управления внешним освещением улиц города, для организации работы городского транспорта и для многих других систем жизнеобеспечения города.

Определение 2. Нечеткое множество 0 называется пустым, если его функция принадлежности равна нулю на всем универсальном множестве X. Иными словами, нечеткое множество будет пустым, если ни один из элементов множества X не принадлежит рассматриваемому нечеткому множеству с положительным значением ,то есть .

Воспользовавшись содержательным аспектом примера из предыдущего определения, отметим, что нечеткое множество студентов рассматриваемой группы третьего курса, которые одновременно принадлежат и к числу студентов второго курса, превращается в пустое множество, когда все эти студенты ликвидируют: все свои академические долги за второй курс.

Определение 3. Носителем suppA нечеткого множества А называется обычное множество, которое удовлетворяет следующим условиям:

supp А= , то есть носителем нечеткого множества А является такое подмножество универсального множества X, для элементов которого значения функции принадлежности > 0 .