Методика обучения доказательству теорем

Пример:

Для раскрытия  содержания теоремы Фалеса можно  использовать следующий прием: начертить в тетрадях угол (произвольный); отложить на одной стороне угла последовательно несколько равных отрезков через концы отрезков провести параллельные прямые до пересечения со второй стороной угла; измерить отрезки, получившиеся на второй стороне угла, и сравнить их между собой. После этой работы высказывается предположение (формулируется теорема), которое затем доказывается [9, с. 53].

 

 

 

2. Методика организации работы с теоремами при изучении курса геометрии в 7-9 классах

 

Доказательство  теоремы в учебниках дается почти всегда сплошным текстом, но учителю следует расчленить доказательство на части, на отдельные логические шаги. Надо составить план доказательства и продумать рациональную запись доказательства теоремы.

Возможны две  формы записи доказательства теоремы. Одна из них состоит в том, что вначале записывается полученный вывод и здесь же в строчку записываются аргументы, на основе которых он был сделан. Другая форма предполагает заполнение таблицы.

Рассмотрим работу по обучению доказательству теорем на примере некоторых теорем из курса геометрии основной школы.

В 9 классе изучается теорема косинусов. Раскроем методические особенности работы с этой теоремой.

Будем работать с данной теоремой, применяя частично-поисковый  метод обучения [cайт], то есть, учитель учит учеников самостоятельно выполнять отдельные шаги в целостном процессе познания.

Задача учителя  при применении частично-поискового метода - научить учеников самостоятельно применять знания, вести поиск новых. Этот метод применяется при опоре на уже имеющиеся у учащихся знания и умения. Чаще всего метод реализуется с помощью проблемных, творческих заданий, способ выполнения которых учащимся не известен.

 Перед доказательством  теоремы школьникам можно предложить  найти сторону треугольника, зная  две другие и угол между  ними. В процессе анализа данной задачи выходим на существование теоремы косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме  квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Обозначим имеющиеся  данные:

Пусть в  АВ = с, ВС = a, СА = b. Докажем, что .

Для доказательства воспользуемся методом введения декартовой системы координат с началом в точке А так, как показано на рисунке 9 [геом.257].

Во время доказательства теоремы учитель задает вопросы детям:

1. Как определить координаты точки В? (так как АВ = с, следовательно В (с; 0)).
2. Как найти координаты точки С? (провести высоту  к АВ, через геометрический смысл синуса и косинуса угла А найти координаты точки).
3. Найдем расстояние между двумя точками В и С откуда получим искомое выражение.[геом, с. 258]

Теорему косинусов  также называют обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике ABC угол А прямой, то и тогда воспользовавшись теоремой получим , т.е. теорему Пифагора.

Для первичного осмысления и применения изученного материала, учащимся можно предложить задания [11урок]:

Задача 1

Ответ: .

Задача 2

Ответ: 60°.

Для закрепления  полученных знаний проведем короткий тест:

1. Закончи предложение. Квадрат любой стороны треугольника равен …

а) сумме квадратов  двух других сторон, минус произведение этих сторон на косинус угла между  ними;

б) сумме квадратов  двух других его сторон;

в) сумме квадратов  двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2. Заполни пропуски. В треугольнике KHT .

а) KH;

б) HT;

в) TK.

3. В треугольнике CDO известны стороны CD и CO. Величину, какого угла необходимо знать, чтобы найти длину стороны DO?

а) C;

б) D;

в) O.

4. Дан треугольник DEF. Выберите верное равенство:

а) ;

б) ;

в) .

Для тех учеников, у которых уровень владения материалом выше, а так же для актуализации знаний на следующие темы, можно предложить следующее домашнее задание: доказать данную теорему векторным способом, в помощь предоставить таблицу [1, с. 97].

Доказательство:

№	Утверждения	Обоснование утверждений
1.	Пусть	Допущение
2.		Из  по правилу сложения векторов
3.
4.		Определение скалярного квадрата вектора
5.
6.		См. п. 5
7.		Свойство скалярного произведения векторов, переместительный закон скалярного умножения векторов, значения косинуса 00
8.

 

Работу над доказательством  теорем можно осуществлять по-разному. Для примера разберем доказательство теоремы «В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой».

Составим структурную  схему доказательства теоремы последовательно:

                Дано: АВС - равнобедренный треугольник,

              ВК – медиана, проведенная  к основанию (рис. 9).

Доказать: 1) ВК – биссектриса,

            2) ВК – высота.

 

 

Доказательство:

Приведем схему  рассуждений для доказательства 1):

Схема 3.

 

 

 

 

 

 

Отдельно составим схему для доказательства второй части теоремы:

Схема 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема доказательства всей теоремы может быть представлена и так:

Схема 5.

Чтобы теорема  была усвоена, необходима работа с ней  и после доказательства. Этому способствуют задания следующих видов:

1. Сформулируйте теорему.
2. Выделите условие и заключение теоремы. К каким фигурам применима теорема?
3. Сформулируйте теорему со словами: «Если …, то …». (Если теорема сформулирована в категорической форме)
4. Сформулируйте предложение, обратное (противоположное и т.д.) сформулированному.
5. Воспроизведите доказательство теоремы по новому чертежу, изменив его положение и обозначение элементов.
6. Составьте план доказательства.
7. Назовите аргументы, которые использовались при доказательстве.
8. Докажите теорему другим способом.
9. Решите задачи на применение теоремы.

Разумеется, что  данная работа проводится не на одном - двух уроках, когда изучается та или иная теорема, а по мере возможности проводится и при изучении других вопросов.

Проследим все  этапы работы с данной теоремой:

I этап. Один из приемов мотивации изучения данной теоремы – знание теоремы для решения задач.

Можно использовать другой прием, показав конструкцию строительной фермы (рис. 10), где АС=СВ, AD=DВ, DM=MB; простейшую конструкцию стропил (рис. 11) АВ=ВС и АК=КС, т.е. наблюдение жизненных фактов.

С целью мотивации  изучения этой теоремы можно использовать решение практической задачи.

 

II этап. Чтобы учащиеся «открыли» сами содержание теоремы и сформировали ее, проводится такая практическая работа. Перед уроком дается на дом задание: начертить три равнобедренных треугольника (остроугольный разносторонний, прямоугольный и тупоугольный) и в этих треугольниках построить медианы и высоты к боковым сторонам ( с помощью масштабной линейки и угольника), биссектрисы углов при основании (с помощью транспортира). А на уроке предлагается по вариантам выполнить другую практическую работу: начертить в тетрадях равнобедренный треугольник,

1 вариант                      2 вариант                    3 вариант

Остроугольный            Прямоугольный             Тупоугольный

 построить  медиану,  высоту к основанию и биссектрису угла при вершине, противолежащей основанию. Трое учащихся (по одному от каждого варианта) выполняют эту работу у доски. Учитель тем временем может построить разносторонний треугольник, провести в нем высоты, медианы, биссектрисы.

После этого, обсуждаются полученные результаты, у учеников высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Ставится вопросы: обладает ли этим свойством медиана, проведенная из вершин двух других углов равнобедренного треугольника к противолежащей стороне?

Обладают ли этим свойством медианы, проведенные в разностороннем треугольнике?

 III этап.  Мотивируется необходимость доказательства теоремы.

Перед учащимися  ставится вопрос во всех ли равнобедренных треугольниках медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой?

- Неизвестно. В  тех случаях, которые рассматривались,  да. А в других – неизвестно. Как быть?

Делается вывод  о необходимости доказательства теоремы.

IV этап. Проводится работа над структурой теоремы: выделяется условие, заключение, уточняется, что теорема сформулирована для равнобедренного треугольника.

V этап. Поиск доказательства теоремы осуществляется движением от заключения к условию, т.е. аналитически.

Работа  по закреплению теоремы

VI этап. Усвоение формулировки теоремы.

1. Верно ли сформулированная теорема: «Медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой»? Почему?
2. Вставьте пропущенные слова: «В ... треугольнике медиана, проведенная …, является … и …».
3. Сформулируйте теорему со словами «Если …, то …».

VII этап. Усвоение доказательства теоремы.

1. Какие понятия используются в формулировке теоремы?
2. Назовите теоремы, которые использовались при доказательстве данной теоремы. Какова цель их использования?
3. Докажите теорему по рисунку 13.

VIII этап. Решение задач на применение теоремы.

1. В равнобедренном  треугольнике  АВС с основанием ВС угол ВАС равен 80^о. Пусть М – середина ВС. Чему равен угол ВАМ? [шар с. 57]

2. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. На этих сторонах взяты соответственно точки М и К так, что ВМ = ВК. Докажите, что МА = СК.

Е. Ф. Данилова [7, с. 116] приводит пример решения сравнительно сложной задачи методом восходящего анализа. Разберем данную задачу поэтапно.

Доказать что, биссектрисы углов прямоугольника своим пересечением образуют квадрат.

Первый этап решения задачи – точно и четко  понять сущность задачи. С этой целью  нужно попросить учащихся заменять понятия прямоугольник, биссектриса, квадрат, встречающиеся в тексте, их определениями.

Далее нужно  потребовать от учащихся заменить сокращенную  формулировку задачи на доказательство ее полной формулировкой, что необходимо для осознания задачи и четкого выделения условия и заключения.

Такой формулировкой  для данной задачи будет формулировка: «Если в прямоугольнике провести биссектрисы внутренних углов и продолжить их до взаимного пересечения, то они образуют квадрат».

Выделим условие  и заключение:

Условие. В четырехугольнике ABCD (рис. 14)

Заключение.

1. RK║HL, RH║OL;
2. ;
3. RK=KL.

Теперь следует  подумать, не охватывает ли задача частные или особые случаи. Тогда для существенно различных случаев сделать чертежи. Для данной задачи можно сделать четыре чертежа: точки К и Н – пересечения биссектрис лежат 1) вне прямоугольника, 2) на стороне прямоугольника, 3) внутри прямоугольника и 4) совпадают. Рассмотрим решение для первого случая.

Перейдем ко второму этапу решения – составлению плана решения. Приступая к решению каждой части задачи, прежде всего выясняем не является ли она непосредственно решаемой, например, не является ли параллельность прямых RK и HL следствием какой-либо части условия. Если этого обнаружить не удалось, то следует остановиться на выборе метода решения задачи. Воспользуемся методом восходящего анализа.

Третий этап решения состоит в выполнении намеченного плана и обосновании  выводов. На этом этапе следует требовать  от учащихся обоснования каждого высказанного утверждения.

Решение первой части задачи: RK║HL, RH║OL?

Рассуждение ведется  следующим образом.