Методика обучения доказательству теорем

Рассмотрим пример: дана теорема «Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам». Сформулировать теорему в условной форме (прямая теорема). Сформулировать обратное, противоположное, обратное противоположному утверждения, установить какие из них истинны, т.е. являются теоремами.

Решение:

1. Прямая теорема:  «Если четырехугольник –  параллелограмм, то диагонали его, пересекаясь, делятся пополам».

2. Обратное утверждение:  «Если в четырехугольнике диагонали,  пересекаясь, делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм». Утверждение истинно, т.е. является теоремой.

3. Противоположное  утверждение: «Если четырехугольник  не параллелограмм, то его диагонали, пересекаясь, не делятся пополам». Утверждение истинно, т.е. является теоремой.

4. Обратное противоположному: « Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, не делятся пополам, то такой четырехугольник не параллелограмм. Утверждение истинно, т.е. является теоремой.

Таким образом, [14, с. 98] математическое доказательство проводится по четко определенным правилам. Исходя из ранее известных фактов и теорем, в соответствии с законами логики устанавливается справедливость новой теоремы.

 

1.2. Методы  доказательства математических теорем

 

Доказательство общеутвердительных и общеотрицательных суждений (утверждений) должно состоять в построении цепочек логических умозаключений.

Умозаключение – это рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений, называемых посылками, логически выводится новое суждение, называемое заключением или следствием.

При построении умозаключений используются силлогизмы. Термин  «силлогизм» происходит от греческого слова «силлогисмос», что означает выведение следствия. Силлогизмы – это приемы логических рассуждений, которые были охарактеризованы Аристотелем. Каждый силлогизм представляет схему логического вывода, состоящую из трех суждений. В качестве суждений могут использоваться  категорические суждения видов А, Е, I, O и другие суждения. В силлогизмах первые два суждения – посылки (первое – большая посылка, второе – малая посылка), третье – заключение (следствие).

Приведем структуру силлогизма, который часто используется при доказательстве теорем:

Все S есть P – большая посылка (БП);

K есть S – малая посылка (МП);

___________________________

K есть P – заключение (В)

Пример:

Все ромбы есть параллелограммы

Квадрат есть ромб

___________________________

Квадрат есть параллелограмм [дал, с. 18]

Доказательство  можно представить как цепочку  последовательно связанных силлогизмов. При доказательстве частноутвердительных и частноотрицательных суждений не нужно строить  цепочки  логических умозаключений.  Для доказательства нужно приводить или строить примеры.

Проведение любого доказательства опирается на три блока [дал. 19] знаний и умений: содержательный, структурный, логический.

В содержательный блок входят элементы, связанные с ранее изученными математическими понятиями и фактами, которые использованы или в формулировке утверждения, или в качестве аргументов при проведении рассуждений. Эти элементы существенно зависят от логической структуры курса, от его аксиоматики, от методических особенностей изложения и т. д., а поэтому для одной и той же теоремы в различных учебниках содержательный блок может оказаться различным.

В структурный блок входят знания и умения, связанные со структурой утверждения и возможностями ее  преобразования. В этот блок входят умения выделять условие и заключение теоремы, преобразовывать логическую форму теоремы с  целью получения более простых подтеорем и т. д.

Логический  блок содержит знания и умения, связанные с правилами логических рассуждений.

Различают общие и частные методы доказательства теорем.

Общие методы доказательства:

• синтетический
• аналитический (восходящий анализ, нисходящий анализ)
• аналитико-синтетический
• метод от противного
• метод исключения
• метод перебора
• метод полной индукции
• метод математической индукции
• метод бесконечных исключений
• метод конструирования

Частные  методы доказательства

• векторный
• координатный
• координатно-векторный
• метод геометрических преобразований
• алгебраический метод (сводится к решению уравнений, систем уравнений, неравенств, систем неравенств)    и другие.

Доказательство  математического утверждения  называется синтетическим, если оно осуществляется по следующей логической схеме: P₁(x) P₂(x) P₃(x) …P_n-1(x) P_n(x) = P(x), где Т – определенная совокупность предложений той математической теории, в рамках которой доказывается данное утверждение. Таким образом, при синтетическом методе доказательства теоремы цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от условия теоремы к ее заключению.

В качестве примера рассмотрим доказательство теоремы из курса 8 класса: «Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды» [геом].

Дано: АВ, CD —  хорды, Е — точка пересечения хорд.

Доказать: AE^.BE = CE^.DE (рис. 2).

Доказательство [дал, с. 18 - 19]:

Силлогизм 1

БП: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

МП: Вписанные углы ( и ) опираются на одну и ту же дугу BMD.

В: = .

Силлогизм 2

БП: Вертикальные углы равны.

МП: 3 и 4 — вертикальные.

В: 3 = 4.

Силлогизм 3

БП: Если два  угла одного треугольника соответственно  равны двум углам другого, то  треугольники подобны.

МП: Два угла ( 1 и 3) треугольника AED соответственно равны двум углам ( 2 и 4) треугольника СЕВ.

В: AED ~ СЕВ.

Силлогизм 4

БП: В подобных треугольниках сходственные стороны  пропорциональны.

МП: Стороны АЕ, DE и СЕ, BE — сходственные стороны подобных треугольников AED и СЕВ.

В: АЕ:РЕ = DE:BE.

Силлогизм 5

БП: Произведение крайних  членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.

МП: АЕ и BE — крайние члены, a DE и СЕ — средние  члены одной  и той же пропорции.

В: AE^.BE = CE^.DE.

При аналитическом доказательстве теоремы цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Различают два вида аналитического метода: восходящий анализ (анализ Паппа), нисходящий анализ (анализ Евклида).

Восходящим анализом (совершенным анализом) называется такая разновидность аналитического метода, при котором, отталкиваясь от заключения P(x), подбирают для него достаточное условие – такое суждение P₁(x), что P₁(x) P(x),затем подбирают достаточное условие P₂(x) для P₁(x), такое чтобы P₂(x) P₁(x) было истинным, и так далее до тех пор, пока не получат такое достаточное условие P_n(x) для P_n-1(x), что    P_n(x) P_n-1(x) и  P_n(x) = S(x).

P(x) P₁(x) P₂(x) ….. P_n-1(x) P_n(x) = S(x).

Пример:

Доказать теорему «Если  в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник – параллелограмм» методом восходящего анализа. (Рис. 3).

Дано: АВСD – четырехугольник.

Доказать: ABCD – параллелограмм.

Решение:

1. Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, достаточно доказать, что BC║AD и AB║DC. (A₁).
2. Для доказательства параллельности сторон  четырехугольника достаточно доказать равенство накрест лежащих углов, образуемых при пересечении двух прямых третьей. (А₂).
3. Такие накрест лежащие углы можно получить, если провести диагональ АС: АСВ и САD; ВАС и ACD.(А₃).
4. Для доказательства равенств АСВ  = САD и ВАС = ACD достаточно доказать равенство треугольников АВС и CDA. (A₄).
5. Для доказательства равенства треугольников АВС и CDA достаточно установить справедливость равенств: AD=BC, AB=DC, AC=AC, а эти равенства выполняются. (А₅).

Теорема доказана.

Схематично доказательство можно представить так:

Схема 1.

 

 

 

 

 

Нисходящим анализом (несовершенным анализом) называют такую разновидность аналитического метода, при которой, отталкиваясь от заключения P(x) рассуждения ведут путем последовательного получения логических следствий:

P(x) P₁(x) P₂(x) …P_n(x), где P_n(x) есть предложение, истинное значение которого нам точно известно. При выведении следствий из P(x) временно допускают, что оно истинно. При нисходящем анализе, так же как и при восходящем, рассуждения ведут от заключения теоремы, но подбирают уже не достаточные условия, а необходимые.

Выведение необходимых  условий продолжают до тех пор, пока не придут к очевидному следствию, представляющему собой или условие теоремы, или ранее изученное истинное утверждение.  Если окажется возможным провести рассуждения в обратном порядке, при котором условие теоремы или очевидное утверждение выступают отправной посылкой, то получим искомое доказательство.

Пример: Выполнить нисходящий анализ для доказательства теоремы: «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник – параллелограмм.

Дано: ABCD – четырехугольник,

AB = CD, AD =BC.

Доказать: ABCD – параллелограмм.

Нисходящий анализ:

1. Пусть ABCD – параллелограмм. (P(x))
2. Тогда BC || AD и AB || CD. (P₁(x))
3. Проведем AC. Тогда ACB = CAD, BAC = ACD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей). (P₂(x))
4. ABC = CDA (по стороне и двум прилежащим к ней углам). (P₃(x))
5. AB = CD, AD =BC, AC = AC. (следует из равенства треугольников) (P₄(x) = S(x)).

Цель  нисходящего анализа – поиск доказательства. Само доказательство проводится в обратном порядке и в итоге получится синтетическое доказательство.

Среди всех методов  доказательства теорем в школьном курсе  математики основную нагрузку несет синтетический метод, ибо он является составной частью доказательства любым другим методом.

Аналитико-синтетический метод доказательства заключается в том, что в процессе доказательства происходит последовательное преобразование то условия теоремы, то заключения.

Метод от противного заключается в том, что доказательство теоремы начинают с предположения, что из S(x) не следует P(x).  Тогда имеет место истинность утверждения  S(x) и ложность утверждения P(x).  Из утверждения    выводят следствия до тех пор,  пока не получат следствие, находящееся в противоречии либо с условием теоремы, либо с ранее изученным теоретическим фактом. Данный метод основан на использовании закона контрапозиции:

Пример: Докажем теорему «Разносторонний треугольник нельзя разбить

на два равных треугольника» методом от противного.

Доказательство:

1) Пусть АВМ= ВМС (рис. 5), АВ ВС АС.

2) В этих равных треугольниках  ВМ — общая сторона и по теореме о том, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, заключаем, что ВАМ = ВСМ.

3) По теореме о том, что если углы при основании треугольника равны, то треугольник равнобедренный, заключаем, что АВ = ВС.

4) Мы получили, что АВ = ВС, но по условию теоремы АВ ВС. Получили противоречие.

5) Значит, наше предположение неверно, а верно то, что АВМ ВМС.

К частным методам доказательства относят метод геометрических преобразований, векторный, координатный, алгебраический методы и т.д. Рассмотрим примеры некоторых из них.

Векторный метод:

Пример: Доказать, что отрезок, соединяющий середины

противоположных ребер правильного тетраэдра, есть общий перпендикуляр этих ребер.

 Решение:

2. Пусть ребро тетраэдра равно а. Введем векторы , и (рис. 6).

Пользуясь определением разности векторов,  запишем:

3. Найдем скалярное произведение векторов:

Следовательно, =0.