Методика обучения доказательству теорем

А это условие перпендикулярности векторов, т. е. .

Аналогично доказывается, что  .[дал. с.44]

Метод доказательства, основанный на перемещении плоскости.

Пример: Доказать, что если пятиугольник имеет две оси симметрии, то он правильный.

Доказательство:

1. Пусть А₁А₂A₃A₄А₅ -  пятиугольник имеет две оси симметрии (рис. 7).

Каждая из них проходит через  вершину и середину противоположной  стороны. Если одна ось проходит через вершину А₁ и середину  стороны А₃А₄, то имеем А₁А₂=А₁А₅, A₂A₃ = А₅A₄, А₂ = А₅, А₃ =А₄.

Если другая ось проходит через вершину А₂ и середину стороны А₄А₅, то имеем А₁А₂=А₂А₃, А₁А5=А₃А₄, А₁=А₃, А₅=А₄.

Сопоставляя полученные соотношения, получаем, что  пятиугольник А₁А₂A₃A₄А₅ правильный.

В данной главе  мы рассмотрели теоретические основы методики обучения учащихся доказательству теорем, выяснили виды теорем, их формулировки, а также разобрали на примерах основные методы доказательства теорем. Каждый из рассмотренных методов обладает как достоинствами, так и недостатками. Поэтому ни один из них не может быть рекомендован в качестве универсального и единственного. [дан. 79] Четкое знание сущности методов явится надежным орудием в руках учащихся для самостоятельного отыскания решений задач и во многих случаях поможет учащимся найти решение задач более простое, короткое изящное.

 

Глава 2.  Методика обучения доказательству теорем

1. Этапы работы с теоремами. Приемы мотивации

изучения и доказательства теорем

 

Изучая методы работы учителей можно выяснить, чем достигается  успех. Ученики формально усваивают материал обычно у тех учителей, которые излагают теоремы догматически. Учитель сообщает формулировку теоремы, сам приводит её доказательство, которое затем повторяется несколькими учениками. Если в процессе доказательства педагог задает детям вопросы, то чаще всего они касаются формулировок ранее пройденных теорем и определений, но не вскрывают путей к отысканию доказательства. Учащимся непонятно, почему появилась именно эта теорема, зачем делается то или иное дополнительное построение.

Совсем иначе  идет работа у тех учителей, которые  привлекают школьников к разбору содержания теоремы и к самостоятельным поискам тех логических связей, на которых построено ее доказательство. Такая творческая работа вызвает интерес учащихся и тем самым повышает активность их внимания. Результатом является не пассивное запоминание, а усвоение самого смысла доказательства.

Изучение каждой теоремы дает возможность поставить перед учениками две задачи: 1) выявить некоторые свойства изучаемого объекта и 2) логически обосновать необходимость этих свойств. [гастева,с.517]

Г.И. Саранцев [сар.,70] выделяет следующие этапы изучения теоремы:

1. Мотивация изучения теоремы.
2. Ознакомление с фактом, отраженным в теореме.
3. Формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы.
4. Усвоение содержания теоремы;
5. Запоминание формулировки теоремы;
6. Ознакомление со способами ее доказательства;
7. Доказательство теоремы;
8. Применение теоремы;
9. Установление связей теоремы с ранее изученными теоремами.

Главным, по мнению автора, в изучении теорем является не заучивание их и их доказательств, а открытие школьниками теоремы, способа доказательства, самостоятельное конструирование доказательства, применение теоремы, применение теоремы в различных ситуациях, установление связей с другими теоремами.

Примеры:

1. С теоремой о сумме углов треугольника учащиеся могут ознакомиться, измеряя непосредственно углы треугольника. Обобщая результаты измерений, учащиеся приходят к выводу, что сумма углов треугольника равна 180⁰.

Чтобы помочь учащимся самостоятельно найти путь дедуктивного обоснования догадки, можно предложить решить задачу.

Задача. Через вершину треугольника проведена прямая, параллельная основанию. Доказать, что углы, образованные этой прямой с боковыми сторонами треугольника, соответственно равны углам треугольника при основании.

Решение этой задачи открывает  путь доказательства сформулированной догадки.

Для закрепления можно предложить следующие задачи [погор, с. 63]:

• Угол АВС равен 80^о, а угол ВСР равен 120^о_. Могут ли прямые АВ и СР быть параллельными? Обоснуйте ответ.
• Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, если угол при основании равен: 1) 40^о; 2) 55^о; 3) 72^о.

2. Основное свойство степени с натуральным показателем учащиеся могут выделить, выполнив упражнение: «Представьте в виде степени с показателем, отличным от единицы, произведение: а) х²٠х³; б) bb²b⁵». После выполнения нескольких подобных упражнений учащиеся замечают, что произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней.

Для усвоения содержания теоремы можно использовать упражнения на выделение условия и заключения теоремы; на вычленение на чертежах, моделях таких фигур, которые удовлетворяли бы условию теоремы.

Саранцев Г.И. [12] предлагает пользоваться следующей схемой (схема 1):

Схема 2:

Этапы работы с  теоремой		Упражнения, реализующие  их
Мотивация изучения теоремы;     Ознакомление с фактом, отраженным в теореме;       Усвоение содержания теоремы;   Запоминание формулировки теоремы;         Ознакомление со способами ее доказательства;     Доказательство теоремы;   Применение теоремы;       Установление связей теоремы с ранее изученными теоремами.		Упражнение на измерение  величин, на оперирование моделями фигур   Упражнения с практическим содержанием   Упражнения на применение ранее изученных теорем и понятий   Упражнения на выделение  условия и заключения теоремы   Упражнение на распознавание  ситуаций, удовлетворяющих теореме   Упражнение на выполнение чертежей,  моделирующих условие теоремы   Упражнение на ознакомление с методом доказательства теоремы   Упражнения, моделирующие способ доказательства теоремы Упражнение на выделение  в доказательстве недостающих утверждений и их обоснований Упражнения на систематизацию теорем Упражнения на составление  «родословной» теоремы   Упражнения на составление плана доказательства теоремы   Упражнения на составление  алгоритмов

В целях облегчения запоминания громоздких формулировок теорем целесообразно поэлементное усвоение содержания теоремы. Для этого формулировка теоемы разбивается на отдельные элементы, после чего каждый из элементов используется при выполнении упражнений.

При индуктивном  введении теоремы Лященко Е. И. [9] условно выделяет следующие этапы ее изучения:

• Мотивация изучения теоремы и раскрытие ее содержания (Усмотрение геометрического факта и формулировка теоремы);
• Работа над структурой теоремы;
• Мотивация неоходимости доказательства теоремы;
• Построение чертежа и краткая запись содержания теоремы;
• Поиск доказательства, доказательство и его запись;
• Закрепление теоремы;
• Применение теоремы.

     Для  мотивации необходимости изучения теорем можно предложить такие приемы:

Прием 1. Обощение наблюдаемых в жизни фактов и явлений и перевод их на математический язык.

Мотивировать  необходимость изучения свойства «Две прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке» можно, преложив предварительно учащимся решить дома следующие задачи:

А) На плане местности  четыре населенных пункта отмечены точками A,B,C,K. Выясните, пересекутся ли пути из пункта А в пункт С и из пункта K в пункт В. Если пересукуться, то в скольких точках? Рассмотрите различные возможные случаи расположения населенных пунктов. Могут ли эти пути пересечься в двух точках?

В классе  учитель  выясняет полученные результаты решения  задачи: во всех случаях пути движения либо имеют одну общую точку, либо е имеют ни одной. Отметив, что пути движения в данных задачах были отрезки, предпалагается подумать над вопросом: изменится ли вывод, если вместо отрезков взять две прямые?

Этот прием  можно использовать при изучении многих теорем.

Прием 2. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения практических задач.

 Для мотивации изучения теоремы  «Если две стороны и угол между  ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны» можно использовать следующую задачу:

Картографам необходимо нанести на карту два населенных пункта А и В (рис. 7). Измерить расстояние между пунктами оказалось невозможно так как между ними было озеро. Картографы поступили следующим образом: они выбрали точку С от которой               

можно было измерить расстояние и до пункта А, и до пункта   В.    Измерили эти расстояния и построили  на бумаге отрезки АС и АВ соответствующей длины (масштаб можно указать по своему усмотрению) а затем продолжили линии за точку С, отложили отрезки СН и СМ, равные соответственно отрезкам СВ и СА, и соединили точки Н и М отрезком. Картографы считают, что расстояние АВ  и НМ равны между собой. Правы ли картографы?

- По условию  задачи известно, что АС=СМ, ВС=СН и, кроме того как    вертикальные углы.

- Надо установить, что АВ=НМ.

- Откуда может следовать равенство этих отрезков?

- Равенство отрезков  АВ и НМ может следовать  из равенства треугольников АСВ и МСН.

- Но в равных треугольниках соответственно равны все шесть элементов (три стороны и три угла), а здесь мы имеем только две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равные двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Как быть?

- Следует доказать, что если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Мотив и необходимость  доказательства теоремы показаны.

Прием 3. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения задач и доказательства других теорем.

Прием 4. Показ, как решалась данная проблема в истории науки.

 Например, рассмотрим доказательство формулы   (а + b)² = a² +2ab +b².  У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не “а²”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник, заключенный между отрезками a и b”.

Первым с доказательством этой формулы столкнулся древнегреческий учёный Евклид, живущий в Александрии в III веке до н.э., так как в те времена не было букв, он пользовался геометрическим способом доказательства формулы.

Из данного рисунка видно, что площадь квадрата  со стороной (а + b) равна сумме площадей квадрата со стороной а, квадрата со стороной b и  двух прямоугольников с длиной а и шириной b. Если прямая линия (имеется в виду отрезок) разделен  на 2 отрезка а и b, то квадрат на всей прямой, т.е. (а + b)² равен  а² + b² + 2ab.

Значит, (а + b)² = a² +2ab +b²

Очевидно, что  перечисленные приемы для мотивации изучения теорем служат одновременно и раскрытию содержания теоремы. Из других приемов раскрытия содержания теорем можно назвать:

• Наблюдение наглядного материала, в том числе подвижных моделей или ряда чертежей;
• Выполнение постороений;
• Решение задач на вычисление и доказательство;
• Выполнение лабораторных и практических работ;
• Решение задач на отыскание некоторых зависимостей.