Методика обучения доказательству теорем

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

Забайкальский государственный университет

Кафедра фундаментальной  и прикладной математики,

теории и методики обучения математике

 

 

 

 

 

 

Курсовая  работа.

 

Методика  обучения учащихся доказательству теорем

 

 

 

 

Выполнила: студентка 141 гр.

Днепровская Д.С.

                                                 Проверила: доцент кафедры 

ФиПМ, ТиМОМ Тонких Г.Д.

 

 

 

 

 

 

 

 

Чита, 2012 г.

Содержание.

 

Введение………………………………………………………………………3

Глава 1. Теоретические основы методики обучения учащихся доказательству теорем

1.1. Понятие теоремы. Строение  математических теорем………………..5

1.2. Методы доказательства  математических теорем

Глава 2. Методика обучения доказательству теорем…………………

1. Общие приемы работы с теоремами (Этапы работы с теоремами. Приемы мотивации изучения и доказательства теорем)
1. …………………………….
2. Методика организации работы с теоремами при изучении курса геометрии в 7-9 классах……......................................................................

Заключение ………………………………………….………………………40

Список использованной литературы……………………………………….42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

  В математике, в отличие от любой другой науки, есть такие  понятия, как теорема и доказательство. Да и сама математика стала  наукой лишь с появлением в ней теорем и доказательств. Арифметические задачи и геометрические формулы можно  встретить уже в египетских папирусах, написанных в третьем тысячелетии до нашей эры. Но в этих старинных текстах не было самого главного — доказательств. А без доказательств нет и самой математики.

Когда же появились  первые доказательства? И тут сквозь дым времен перед нами предстает удивительный человек, знаменитый мудрец из древнегреческого города Милет. С поразительным единодушием историки науки присваивают звание первоматематика Фалесу Милетскому (625—527 гг. до н. э.). Впрочем, лучше назвать Фалеса первогеометром, ведь все его математические достижения связаны с геометрией. (Само понятие «математика» как название науки появилось лишь в начале XIX в., до этого, ученые, занимавшиеся в нашем понимании математикой, назывались геометрами.) Считают, что первые геометрические теоремы доказаны именно Фалесом. Среди них всем известные теоремы о вертикальных углах и свойстве равнобедренного треугольника (равенство углов при основании). [14, c. 97]

Вопросы методики преподавания математики всегда интересовали русских ученых – математиков и педагогов. Вопросами доказательства теорем занимались Е. Ф. Данилова, В. А. Далингер, Лященко, И. С. Градштейн и мн. другие.

В разработке методики преподавания математики участвует широкий круг ученых, методистов, учителей, которые печатают свои работы и делятся опытом на страницах журнала «Математика в школе», создают блоги в интернете и многое другое.

Обучение доказательству теорем нуждается в детальном рассмотрении. Известно [2], что учащиеся формально заучивают теорему и ее доказательство, не понимая его логического смысла. Дополнительным вопросом учитель может выявить такое непонимание ученика, который как будто бы правильно доказал теорему. Формальное заучивание доказательства проявляется в затруднениях, которые испытывают школьники, если немного изменить, иначе расположить чертеж.

Формальное заучивание знаний [5,c. 160], зубрежка, подкрепляемая бесконечным повторением, калечат мышление ученика. Как верно замечает Э. В. Ильенков, такое повторение «следовало бы назвать не матерью, а мачехой учения». Математического знания не существует, если учащийся просто запоминает  материал, ибо работу мысли нельзя заменить работой памяти.

Чтобы учитель нас правильно понял, мы хотим подчеркнуть, что в обучении математике заучивание определений и формулировок теорем играет большую роль. А. Я. Хинчин указывал на то, что «заучивание определений является актом высокой логической культуры, а не схоластической  зубрежкой». Но такому заучиванию должна предшествовать работа, которая бы помогла школьнику осознать каждый элемент  формулировки.

Ученик иногда запоминает сочетания слов, которые  от него часто требуют при обоснованиях, но при проверке можно обнаружить, что он говорит эти слова механически. Например, говорит: «В треугольнике против равных сторон лежат равные углы», не понимая, что это утверждение применимо только к равным треугольникам. Иногда, ученик, доказавший теорему, не может указать на чертеже те элементы, о которых он говорил при доказательстве [2, с. 516].

Цель курсовой работы: раскрыть методические особенности обучения учащихся доказательству теорем при изучении курса геометрии в основной школе.

Объект исследования: процесс обучения геометрии в основной школе.

Предмет исследования: методика обучения доказательству теорем.

Задачи курсовой работы:

1. Раскрыть сущность понятия «теорема».

2. Выявить основные методы доказательства теорем.

3. Показать основные приемы работы с теоремами.

4. Разработать  методику работы с некоторыми теоремами из курса геометрии 7-9 классов.

Методы исследования:

1. Анализ учебной и учебно-методической литературы.
2. Обобщение передового опыта обучения математики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Теоретические основы методики обучения учащихся доказательству теорем

1.1. Понятие  теоремы. Строение математических  теорем

Основными видами математических суждений являются аксиомы и теоремы. Суждение – форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов, связях между предметом и его свойствами или об отношениях между предметами.

Аксиома – это суждение, принимаемое без доказательства в данной теории. Теорема – это суждение, истинность которого устанавливается посредством доказательства. Слово «теорема» происходит от греческого слова τεορεμα – представление, зрелище (так как в древности теоремы часто доказывались публично, на площадях, и они носили характер спора, диспута).

Аристотель выделил  четыре вида суждений, которые были названы категорические суждения (табл.1). Многие математические теоремы имеют вид этих суждений.

Таблица 1

Категорические  суждения

Название суждения	Обозначение	Запись  суждения на языке формальной логики	Запись  суждения на языке логики предикатов
Общеутверди-тельное	A	Все S суть P	Каков бы ни был объект x, если он обладает свойством S , то обладает также свойством P
Частноутвер-дительное	I	Некоторые S суть P	Существует  такой объект x, обладающий свойством S, который также обладает и свойством P.
Общеотрица-тельное	E	Никакое S не суть P (Все S суть не P)	Каков бы ни был объект x, если он обладает свойством S , то он не обладает свойством P
Частноотри-цательное	O	Некоторые S не суть P	Существует такой объект x, который обладает свойством S и не обладает  свойством P.

 

Приведем примеры  категорических суждений. Общеутвердительными  являются следующие суждения: «Все прямоугольники являются параллелограммами», «Все поля есть кольца». К частноутвердительным суждениям относятся: «Некоторые функции – периодические», «Некоторые простые числа четны». Общеотрицательные суждения: «Никакой эллипс не есть алгебраическая линия первого порядка», «Никакой треугольник не является окружностью». Частноотрицательные суждения: «Некоторые функции – непериодические», «Некоторые треугольники – неравнобедренные».

Наиболее часто  в математике встречаются теоремы, имеющие вид общеутвердительного суждения. В математике вместо термина «суждение» часто используется термин «утверждение».  Рассмотрим строение таких теорем.

Теорема вида (1) состоит из трех частей:

1. Разъяснительная часть , в которой описывается множество M объектов, о которых идёт речь в теореме.
2. Условие теоремы – предикат , заданный на множестве M.
3. Заключение теоремы – предикат , заданный на том же множестве M.

Предикат  называют необходимым условием для предиката , а предикат   – достаточным условием для .

Пример: «Пусть дана функция, заданная на отрезке [а, b] (разъяснительная часть). Тогда, если она непрерывна на этом отрезке (условие теоремы), то она принимает на нем свое наибольшее и наименьшее значение (заключение теоремы)».

При записи теорем разъяснительная часть часто  опускается. В математике для словесной  формулировки теоремы используются две основные формы записи суждений:

1. Категорическая.

Примеры: «Вертикальные углы равны», «Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме».

2. Условная(импликативная).

Пример: «Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный», «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны».

Теорему вида называют прямой теоремой. С ней связаны теоремы другого вида.  Рассмотрим их. Если в теореме вида (1) поменять местами условие и заключение, то получим утверждение (2), которое называется обратным утверждением. Если оно является истинным, то его называют обратной теоремой.

Пример:

Дана теорема: «Сумма смежных  углов равна 180^◦». Теорема сформулирована в категоричной форме. Сформулируем теорему в условной форме: «Если углы смежные, то их сумма равна 180^◦». Получили прямую теорему. Сформулируем обратное утверждение: «Если сумма углов равна 180^◦, то углы – смежные». Данное утверждение является ложным, поэтому его нельзя считать теоремой.

Пример. Рассмотрим свойство прямоугольника: «Диагонали прямоугольника равны». Данное утверждение представлено в категорической форме. Сформулируем утверждение в условной форме: «Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны». Обратное утверждение «Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограм – прямоугольник» также является верным.

Если имеют  место и прямая, и обратная теорема, то истинным является утверждение  . Теоремы такого вида называют необходимыми и достаточными условиям. Они распространены в математике. В этом случае считают, что предикат – необходимое и достаточное условие для предиката , а предикат – необходимое и достаточное условие для предиката .

Пример: Дана теорема: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Теорема сформулирована в категоричной форме. Сформулируем прямую теорему в условной форме: «Если треугольник прямоугольный, то  квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Сформулируем обратное утверждение: «Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то такой треугольник прямоугольный». Получили теорему, обратную теореме Пифагора.

Если в теореме (1) заменить условие и заключение их отрицаниями, то получим утверждение (3), которое называется противоположным утверждением. Если оно истинно, то его называют противоположной теоремой. Если в утверждении (3) поменять местами условие и заключение, то получим утверждение (4), которое называется обратное противоположному или противоположное обратному. Если оно истинно, то его называют теоремой, обратной противоположной или теоремой, противоположной обратной.

Между утверждениями (1), (2), (3),(4) существует связь,  которую символически можно изобразить так (рис. 1):

 

Таким образом, можно выделить четыре вида теорем:

1. – прямая теорема.
2. – обратная теорема.
3. – противоположная теорема.
4. – теорема, обратная  противоположной (теорема, противоположная обратной).

Теоремы 1–4 иногда удобнее записывать на языке алгебры  высказываний:

1.   – прямая теорема.

2. – обратная теорема.

3. – противоположная теорема.

4.   – теорема, обратная  противоположной  (теорема, противоположная  обратной).