Автор работы: Пользователь скрыл имя, 07 Февраля 2011 в 21:08, реферат
Целью работы является знакомство с теоретическим материалом по теме «Комплексные числа» и применение теорем на практике.
Задачи данного исследования:
Ознакомится с историей возникновения и развития комплексных чисел
Дать понятие комплексного числа и рассмотреть свойства комплексных чисел
Изучить действия с комплексными числами
Проанализировать изученный материал
Решить задачи на применение комплексных переменных
Сделать выводы о проделанной работе
Введение 3
1 История возникновения комплексных чисел 5
1.1 Развитие понятия о числе 5
1.2 На пути к комплексным числам 6
1.3 Утверждение комплексных чисел в математике 7
2 Комплексные числа и их свойства 10
2.1 Понятие комплексного числа 10
2.2 Геометрическая интерпретация комплексного числа 11
2.3 Модуль комплексного числа 12
2.4 Тригонометрическая форма комплексного числа 13
3 Действия с комплексными числами 15
3.1 Сложение и умножение комплексных чисел 15
3.2 Геометрическое изображение суммы комплексных чисел 15
3.3 Вычитание и деление комплексных чисел 16
3.4 Геометрическое изображение разности комплексных чисел 17
3.5 Свойства модуля и аргумента комплексного числа 18
3.6 Возведение в степень и извлечение корня 20
4 Квадратное уравнение с комплексным переменным 22
Заключение 26
Список литературы 27
2 Способ:
Вычитание
комплексных чисел – это
Если к обеим частям равенства прибавить (–Z2) противоположное числу Z2:
Z+Z2+(–Z2)=Z1+(–Z2), откуда
Z = Z1 – Z2
Число Z=Z1+Z2 называют разностью чисел Z1 и Z2.
Деление вводится как операция, обратная умножению:
Z×Z2=Z1
Разделив обе части на Z2 получим:
Z=
Из этого уравнения видно, что Z2 0
Разности Z2
– Z1 комплексных чисел Z1 и
Z2, соответствует разности векторов,
соответствующих числам Z1 и Z2.
Модуль
разности двух комплексных чисел
Z2 и Z1 по определению модуля
есть длина вектора Z2
– Z1. Построим этот вектор, как сумму
векторов Z2 и (–Z1) (рисунок
4). Таким образом, модуль разности двух
комплексных чисел есть расстояние между
точками комплексной плоскости, которые
соответствуют этим числам.
Рисунок 4.
Это важное геометрическое истолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехом использовать простые геометрические факты.
Пример 2: Даны комплексные числа Z1= 4 + 5·i и Z2= 3 + 4·i. Найти разность Z2 – Z1 и частное
Z2 – Z1 = (3 + 4·i) – (4 + 5·i) = –1 – i
= =
С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.
Пусть Z1= r1·(cosj1 + i·sinj1), Z2 = r2·(cosj2 + i·sinj2). Тогда:
Z1Z2= r1·r2[cosj1·cosj2 – sinj1·sinj2 + i·( sinj1·cosj2 + cosj1·sinj2)]=
= r1·r2[cos(j1 + j2) + i·sin(j1 + j2)].
Таким образом, произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:
Z1Z2= r1·r2[cos(j1 + j2) + i·sin(j1 + j2)] (5)
Из формулы (5) следует, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Если Z1=Z2 то получим:
Z2=[r·(cosj + i·sinj)]2= r2·(cos2j + i·sin2j)
Z3=Z2·Z= r2·(cos2j + i·sin2j)·r·(cosj + i·sinj)=
= r3·(cos3j + i·sin3j)
Вообще для любого комплексного числа Z= r·( cosj + i·sinj) 0 и любого натурального числа n справедлива формула:
Zn =[ r·(cosj + i·sinj)]n= rn·( cosnj+ i·sinnj), (6)
которую называют формулой Муавра.
Частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:
[ cos(j1 – j2) + i·sin(j1 – j2)]. (7)
= = cos(–j2) + i·sin(–j2)
Используя формулу 5
(cosj1 + i·sinj1)×( cos(–j2) + i·sin(–j2)) =
cos(j1
– j2)
+ i·sin(j1
– j2).
Пример 3:
Z3 = -8
Число -8 запишем в тригонометрической форме
-8 = 8·( cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)), kÎZ
Пусть Z = r×(cosj + i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:
r3×(cos3j + i×sin3j) = 8·( cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)), kÎZ
Тогда 3j =p + 2pk, kÎZ
j = , kÎZ
r3 = 8
r = 2
Следовательно:
Z = 2·( cos( ) + i·sin( )), kÎZ
k = 0,1,2...
k = 0
Z1 = 2·( cos + i·sin ) = 2·( i) = 1+ ×i
k = 1
Z2 = 2·( cos( + ) + i·sin( + )) = 2·( cosp + i·sinp) = –2
k = 2
Z3 = 2·( cos( + ) + i·sin( + )) = 2·( cos + i·sin ) = 1– ×i
Пример 4:
Z4 = 1
Число 1 запишем в тригонометрической форме
1 = 1·( cos(2pk) + i·sin(2pk)), kÎZ
Пусть Z = r×(cosj + i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:
r4×(cos4j + i×sin4j) = 1∙(cos(2pk) + i·sin(2pk)), kÎZ