Выясним предварительно, какой вид  должны иметь комплексные числа. Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение X²+1=0 имеет корень. Обозначим этот корень буквой i Таким образом, i – это комплексное число, такое, что i ²= –1.

    Как и для действительных чисел, нужно  ввести операции сложения и умножения  комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел   A и B выражение A+B·i можно считать записью комплексного числа в общем виде. Название “комплексное” происходит от слова “составное”: по виду выражения A+B·i.

    Комплексными  числами  называют выражения вида A+B·i, где A и B –действительные числа, а i – некоторый символ, такой что i²= –1, и обозначают буквой Z.

    Число A называется действительной частью комплексного числа A+B·i,       а число B – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.

    Например, действительная часть комплексного числа 2+3·i  равна 2, а мнимая равна 3.

    Для строгого определения комплексного числа нужно ввести для этих чисел  понятие равенства.

    Два комплексных числа A+B·i и C+D·i называются равными тогда и только тогда, когда A=C и B=D, т.е. когда равны их действительные и мнимые части.

  2.2 Геометрическая интерпретация комплексного числа

 

    Действительные  числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A+B·i можно рассматривать как пару действительных чисел(A;B). Поэтому  естественно комплексное число изображать точками плоскости. В прямоугольной системе координат комплексное число       Z=A+B·i  изображается точкой плоскости с координатами (A;B), и эта точка обозначается той же буквой Z (рисунок 1). Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Оно дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки плоскости на которой выбрана система координат. Такая координатная плоскость называется комплексной  плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется  мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.

    

    Рис. 1

    Не  менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа  A+B·i как вектора, т.е. вектора с началом в точке O(0;0) и с концом в точке М(A;B) (рисунок 2).

    

    Рис. 2

    Соответствие  установленное между множеством комплексных чисел, с одной стороны, и множествами точек или векторов плоскости, с другой, позволяет комплексные числа изображать точками или векторами.

2.3 Модуль комплексного числа

 

    Пусть дано комплексное число Z=A+B·i. Сопряженным с Z называется комплексное число A – B·i, которое обозначается = =A – B·i.

    Отметим, что  = A+B·i, поэтому для любого комплексного числа Z имеет место равенство =Z.

    Модулем комплексного числа Z=A+B·i   называется число и обозначается , т.е. = =               (1)       

    Из  формулы (1) следует, что  для любого комплексного числа Z, причем  =0 тогда и только тогда, когда Z=0, т.е. когда A=0 и B=0. Для любого комплексного числа Z справедливы формулы:    

2.4 Тригонометрическая форма комплексного числа

 

    Запись  комплексного числа Z в виде A+B·i  называется алгебраической формой комплексного числа. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записи комплексных чисел.

    Рассмотрим  тригонометрическую форму записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B·i выражаются через его модуль = r и аргумент j следующим образом:

    A= r·cosj ; B= r·sinj.

    Число Z можно записать так:     Z= r·cosj+ i· r·sinj = r·(cosj + i·sinj)

    Z = r·(cosj + i·sinj)      (2)

     Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа.

r = – модуль комплексного числа.

Число j называют аргументом комплексного числа. 

Рисунок 3.

    Аргументом  комплексного числа Z 0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если производится по часовой стрелке.

    Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случае число задается только своим модулем.

    Как уже говорилось выше = r = , равенство (2) можно записать в виде

    A+B·i= ·cosj + i· ·sinj, откуда приравнивая действительные и мнимые части, получим:

    cosj = , sinj =                   (3)

    Если  sinj поделить на cosj получим:

    tgj=          (4)

    Эту формулу удобней использовать для  нахождения аргумента j, чем формулы (3). Однако не все значения j, удовлетворяющие равенству (4), являются аргументами числа A+B·i . Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, в какой четверти расположена точка A+B·i.

    

 

3 Действия с комплексными числами 

 

3 Действия с комплексными числами 

3.1 Сложение и умножение комплексных чисел

    Суммой двух комплексных чисел A+B·i  и C+D·i называется комплексное число (A+C) + (B+D)·i, т.е. (A+B·i) + (C+D·i)=(A+C) + (B+D)·i

    Произведением двух комплексных чисел A+B·i  и C+D·i  называется комплексное число (A·C – B·D)+(A·D+B·C) ·i, т.е.     

    (A + B·i)·(C + D·i)=(A·C – B·D) + (A·D + B·C)·i

    Из  формул вытекает, что сложение и  умножение можно выполнять  по правилам действий с многочленами, считая i²= –1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:

    Переместительное  свойство:

            Z₁ +Z₂=Z₂+Z₁,   Z₁·Z₂=Z₂·Z₁

    Сочетательное свойство:

            (Z₁+Z₂)+Z₃=Z₁+(Z₂+Z₃),  (Z₁·Z₂)·Z₃=Z₁·(Z₂·Z₃)

    Распределительное свойство:

            Z₁·(Z₂+Z₃)=Z₁·Z₂+Z₁·Z₃ 

3.2 Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

 

    Согласно  определению сложения двух комплексных  чисел, действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых. Точно также определяются координаты суммы векторов:

    Сумма двух векторов с координатами (A₁;B₁) и (A₂;B₂) есть вектор с координатами (A₁+A₂;B₁+B₂). Поэтому, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел Z₁ и Z₂ нужно сложить векторы, соответствующие комплексным числам  Z₁ и Z₂. 

      
 
 

    Рис. 3

    Пример 1: Найти сумму и произведение комплексных чисел  Z₁=2 – 3×i  и Z₂= –7 + 8×i.

    1 Способ:

    Z₁ + Z₂ = 2 – 7 + (–3 + 8)×i = –5 + 5×i

    Z₁×Z₂ = (2 – 3×i)×(–7 + 8×i) = –14 + 16×i + 21×i + 24 = 10 + 37×i