Геометрия прямоугольного бильярда

    Рассмотрим  случай, когда сначала наполняют  малый сосуд:

    2. Бильярд в прямоугольнике  и тор.

    Тором называется поверхность, получающаяся при вращении окружности относительно непересекающей эту окружность прямой MN, лежащей в плоскости окружности (рис 24). Форму тора имеют надувной спасательный круг, автомобильная камера, поверхность бублика. На торе, как и на сфере, можно провести меридианы — линии пересечения тора со всевозможными плоскостями, проходящими через ось вращения MN, и параллели — окружности, получающиеся из точек исходной окружности при вращении относительно MN (рис. 25).

    При изучении траекторий бильярда в прямоугольнике была предложена следующая конструкция. Прежде всего, с помощью отражений относительно сторон прямоугольника , а также относительно сторон уже отраженных прямоугольников замостим всю плоскость прямоугольниками равными Прямоугольник получается из прямоугольника с помощью т последовательных отражений относительно вертикальных сторон и п последовательных отражений относительно горизонтальных осей (рис. 26, а). Проведя на замощенной описанным образом плоскости прямую с помощью обратных отражений ее куски, лежащие в прямоугольниках , перевести в исходный  прямоугольник Тем самым из прямой MN получим траекторию бильярда в прямоугольнике (рис. 26, б). 

    Удобно  изучать не одну бильярдную траекторию отдельно, а целый пучок траекторий. Для этого на замощенной плоскости  проведем семейство параллельных друг другу прямых с углом наклона  к оси АВ. Теперь заметим, что нет необходимости рассматривать этот пучок прямых на всей плоскости, а достаточно ограничиться четырьмя прямоугольниками — , образующими один большой прямоугольник (рис. 26, в). Допустим, траектория MN нашего пучка в точке покидает прямоугольник П. Двумя отражениями относительно прямых и мы возвращаем луч внутри прямоугольника П.

    Композиция  упомянутых отражений есть параллельный перенос на вектор , и луч при этом переносе переходит в луч . В свою очередь, когда луч . в точке выходит опять из прямоугольника , с помощью параллельного переноса, задаваемого вектором ,  переносим луч внутрь , и так далее. Вместо того чтобы рассматривать движение шара по прямой MN, можно считать, что доходя до границы прямоугольника , шар перескакивает в соответствующую точку противоположной стороны и движется в том же направлении до следующего перескакивания таким образом, траектория шара состоит из последовательности параллельных отрезков на прямоугольнике Чтобы получить из этой траектории траекторию бильярда, достаточно перегнуть прямоугольник по средним линиям (рис. 27). Прямоугольник назовем «фундаментальным прямоугольником» для исходного прямоугольного бильярда.

    Конечно, более удобно рассматривать движение по непрерывным траекториям. Для  этого достаточно склеить соответствующие  точки противоположных сторон: склеить  верхнюю и нижнюю стороны  в прямоугольнике , получив цилиндр, а затем боковые стороны b (рис. 28). Ясно, что после склейки оснований цилиндра получится тор, а рассмотренные выше траектории станут непрерывными — это и будут траектории обмотки тора.

    Найдем  частоты этой обмотки. Если считать, что бильярдный шар движется со скоростью 1, то при движении под углом  к стороне прямоугольника проекции скорости на горизонтальную и вертикальную оси равны и . В терминах координат на торе и — это скорости движения конфигурационной точки вдоль параллелей и вдоль меридианов. В нашем случае тор склеен из прямоугольника со сторонами и (здесь = и = стороны исходного прямоугольника ABCD) и периоды движения по экватору и по меридиану равны

Согласно  определению, соответствующие частоты  равны: 

    В таком случае получаем, что

    1) если число рационально, то описанная обмотка тора рациональна, и все ее траектории периодичны;

    2) случаю иррациональности α соответствует иррациональная обмотка тора, и тогда любая траектория обмотки всюду плотно заполняет тор.

    Поскольку бильярдный поток на прямоугольнике получается из обмотки тора складыванием тора вчетверо, соответствующим складыванию прямоугольника по средним линиям, то получаем из рациональных обмоток тора пучки периодических бильярдных траекторий на прямоугольнике , а из иррациональных обмоток — пучки непериодических и всюду плотных на прямоугольнике траекторий бильярда.

    Бильярд в прямоугольнике удается свести к обмоткам тора, при этом траектории  бильярда оказываются либо периодическими,  либо  всюду плотными  в прямоугольнике.  Периодичность  (или  всюду  плотность) траектории определяется только начальным  направлением движения, но не зависит  от начального положения шара. 
 

Заключение.

    За  время проведения работы по теме «Математические  бильярды», мною были изучены и разобраны следующие вопросы: бильярд в круге: шар в круглом бильярде без луз, теорема Якоби (ее применение к теории чисел), теорема Пуанкаре о возвращении; геометрия прямоугольного бильярда: бильярдный шар на прямоугольном столе без луз, бильярд в прямоугольнике и тор.

    Подводя итоги, хотелось бы отметить, что рассматриваемые методы можно использовать более широко для решения задач на смеси, задач на справедливый дележ имущества, а также на обмен имуществом. 

    Список  литературы 

1. Гальперин, Г. А. Бильярд: журнал Квант — №4 — 3VL: Наука, 1981.
2. Гальперин, Г.А., Земляков, А.Н. Математические бильярды / Г.С. Куликов — М.: Наука, 1990.   ⁴
3. Земляков, А. Н. Арифметика и геометрия столкновений: журнал Квант

    — №4 — М.: Наука,1978.

    4. Леман, А. Теория бильярдной игры / Н.Н.Филиппов — 2-е издание, доп.

    — М.: Рольф, 2001.