Геометрия прямоугольного бильярда

    Первоначально метод Монте-Карло использовался  главным образом для решения  задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало пригодными. Далее его влияние  распространилось на широкий класс  задач статистической физики, очень  разных по своему содержанию.

    Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние  на развитие методов вычислительной математики (например, развитие методов численного интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.

    Классическое  направление теории равномерного распределения  связано с изучением дробных  долей различных функций (например, многочленов), оценками тригонометрических сумм и следующим известным критерием  Вейля, связанным с эргодичностью.

    Критерий  Вейля. Дня того чтобы последовательность

была  равномерно распределена на отрезке  [0, 1], необходимо и достаточно, чтобы для любой интегрируемой по Риману функции выполнялось соотношение: «среднее временное равно среднему пространственному», т.е.

      (2)

    На  первый взгляд требования (1) и (2) кажутся различными. Чтобы показать связь между ними, выберем произвольный интервал на

отрезке  [0,1]  и  рассмотрим  функцию ,называемую обычно характеристической функцией, или индикатором интервал : она тождественно равна 1 на интервале и тождественно равна 0 вне его     (рис. 13). Тогда 

есть  число точек, попавших в интервал , т.е. число из формулы (1), а 
 
 

поэтому при  соотношения (2) и (1) совпадают. 

    Совпадение  временного среднего и пространственного  среднего для простейшего случая равномерно распределенной последовательности точек обобщается в теории динамических систем на случай так называемых эргодических систем. В эргодической системе действует  преобразование T, не переводящее в себя никакого подмножества системы с мерой, отличной от 0 или 1, т.е. из равенства , где A — подмножество системы, следует, что мера множества A (длина, площадь, объем A в одно-, двух- и трехмерном случаях) равна либо 0, либо 1. Примером эргодической системы может служить окружность на которой действует преобразование поворота T на иррациональный угол (рис. 15). Для этой системы выполнено равенство (2), поэтому последовательность точек 

    (так  называемая «орбита преобразования T») равномерно распределена на окружности, а стало быть, всюду плотно ее заполняет.

    Именно  равенство (2) и утверждает, что доля времени, которую частица (скачущая по окружности точка) проводит в заданной области (дуге ), равно мере (длине) этой области.

Задачи.

    1)Докажите, что на дугенаходится бесконечно много точек последовательности .

    Решение. Если бы на дуге располагалось только конечное число точек (например, как крайний случай, только одна точка), то нашлась бы некоторая дуга , лежащая внутри дугии не содержащая ни одной точки последовательности - Это противоречит теореме Якоби: по этой теореме на дуге имеется хотя бы одна точка последовательности.

    2) (лемма о зайцах). В некотором узле O квадратной решетки находится охотник, а в остальных узлах сидят одинаковые и одинаково расположенные зайцы — кружки радиуса ε с центрами в этих узлах. Охотник наугад стреляет (траектория пули — луч l, выходящий из точки O). Вернется ли он домой с добычей?

     Решение. Если траектория пули проходит через узел, отличный от точки O, то заяц, сидящий в этом узле, будет убит «в самое сердце» (в центр кружка). Поэтому интересен только тот случай, когда узел O — единственный на траектории пули, т. е. тангенс угла наклона луча l к оси - рационален. Оказывается, что и в этом случае какой-нибудь заяц будет убит. Обозначим точки пересечения луча l с вертикальными прямыми сетки через (рис. 14). Совместим все квадраты решетки, которые пересекает луч l, с квадратом , тогда каждая точка перейдет в некоторую точку на стороне . Найдутся такие точки и , расстояние между которыми будет меньше ε. Расстояние от точки , до одного из узлов решетки меньше в (в частности, если и, совпадают, то будет узлом решетки).

     Решение этой задачи почти воспроизводит  доказательство теоремы Якоби, и  то обстоятельство, что если из точек  прямой, заполняющих ее всюду плотно, выпустить пучок параллельных прямых, то они заполняют всюду плотно всю плоскость. 
 

    3. Теорема Пуанкаре  о возвращении. 

    В математике часто случается, что  некоторые утверждения или их следствия удается удачно обобщить и получить при этом ряд новых, неизвестных ранее следствий, иногда далеко выходящих за рамки рассматриваемого вопроса. Таким интересным во многих отношениях обобщением  следствия  теоремы Якоби  о попадании  любой точки х окружности в любую свою окрестность является теорема Пуанкаре о возвращении, возникшая, впрочем, впервые из потребностей механики.

    Теорема Пуанкаре о возвращении (6). Пусть T — сохраняющее объемы взаимно однозначное преобразование пространства, переводящее ограниченную область D пространства в себя: T(D)=D. Тогда в любой сколь угодно малой окрестности U внутри D найдется точка х, которая после нескольких применений к ней преобразования Т снова возвращается в область U: точка принадлежит области U при некотором n>0 (рис 15). Более того, почти все точки области U возвращаются снова в U - объем невозвращающихся в U точек равен нулю (предполагаем, что множество невозвращающихся точек имеет объем).

    Доказательство  теоремы Пуанкаре. Рассмотрим области                 Их бесконечно много, все они имеют одинаковый ненулевой (по условию) объем и все содержатся внутри D.

    Если  бы никакие две из них не пересекались, то суммарный объем равнялся бы бесконечности, и тогда область D не имела бы конечного объема. Однако область D ограничена, и поэтому какие-то две (по крайней мере) области и пересекаются, т.е. имеют общие точки. Но тогда пересекаются и области и (рис. 16). Пусть у - произвольная точка пересечения областей и U, где . Так как каждая точка области получается из некоторой точки области U в результате действия преобразования (по определению записи , то и точка y, лежащая в , получается из некоторой точки х области U таким же способом: . Но точка y одновременно лежит и в области U. Следовательно, точка x через п шагов вернулась опять в область U. Первая часть теоремы доказана. 

    Докажем вторую часть. Пусть — множество невозвращающихся в U точек. Тогда множества попарно не пересекаются.

    Действительно, если и пересекаются, то множество пересекается с , а значит, некоторые точки из вернулись снова в , а тем самым и в область U. Получим — противоречие. Поскольку полученных множеств бесконечно много и все они имеют одинаковый объем v, то, в силу ограниченности объема области D число v не может быть отличным от нуля. Значит, объем множества равен 0. Доказательство теоремы завершено.

    Из  теоремы Пуанкаре о возвращении  вытекают несколько интересных следствий. Отметим, что из нее очень просто получается утверждение теоремы  Якоби. Действительно, если - поворот окружности на угол , то при   (т и n целые () ^{преобразование - тождественное, и} любая точка через n шагов возвращается в точности на свое место:

    . Если же ни при каких целых m и n, то по теореме о возвращении для любого существует такое натуральное n, что для любого s>0 существует такое натуральное п, что (рис.17). Следствие теоремы Якоби получено.

    Теперь  остается лишь заметить, что все  точки окружности равноправны, и  если у — любая точка из окрестности U точки x, то она снова вернется в эту же окрестность. Теорема Пуанкаре предсказывает также возвращение в окрестность исходного положения шарика, движущегося без трения в несимметричной чашке (рис. 18). 

     Появление теоремы  Пуанкаре о возвращении было стимулировано  развитием классической механики, которая  на рубеже XX века приобрела практически  завершенный характер благодаря  многочисленным выдающимся математическим работам как самого Анри Пуанкаре, так и других математиков (Лагранжа, Гамильтона, Лиувилля, Якоби и др.).  

    Глава 2. Геометрия прямоугольного бильярда. 

    Исследуем проблему бильярдных траекторий для  бильярда в прямоугольнике. Прямоугольник, как и круг, имеет во всех своих  граничных точках (кроме вершин) постоянную кривизну — только не положительную, как у круга, а нулевую. Именно поэтому для бильярда в прямоугольнике, так же как и для бильярда в  круге, проблема поведения бильярдных траекторий, причем полностью, решена. Методы, использованные в 1 главе, работают и в случае прямоугольника, позволяя не только провести полное исследование рассматриваемого прямоугольного бильярда, но и свести его, в некотором смысле, к уже изученному бильярду в круге.

    1. Бильярдный шар  на прямоугольном  столе без луз

    Бильярдом в прямоугольнике называется следующая  система: один точечный бильярдный шар  на прямоугольном бильярдном столе  ABCD без луз, движущийся по нему без трения и отражающийся от его сторон («бортов») по бильярдному закону «угол падения равен углу отражения».

    Простейшие  бильярдные траектории в прямоугольнике — периодические. Они могут быть нескольких типов: состоять из дважды проходимых отрезков между противоположными сторонами (рис. 19, а); образовывать семейства параллелограммов со сторонами, параллельными диагоналям прямоугольника (рис. 19, б), образовывать самопересекающиеся замкнутые ломаные (рис. 19, в) и т.д.

    Бывают  и такие траектории, которые попадают в вершины прямоугольника (рис. 19, г). В таком случае непонятно, как шару следует двигаться после выхода «из угла»: закон упругого отражения на этот счет никаких указаний не дает. Все такие траектории будем называть особыми и, как правило, рассматривать не будем, т.е. если траектория попала в вершину, оборвем ее, и от траектории останется только ее часть (полутраектория).

    «Сходу» нарисовать хотя бы одну непериодическую траекторию бильярда в прямоугольнике уже значительно сложнее. Задачу о распознавании периодических и непериодических траекторий бильярда сейчас решим с помощью процедуры «выпрямления траекторий». Опишем ее в общем случае - для бильярда в произвольном многоугольнике.

    Пусть - произвольная не особая (т.е. не попадающая в углы) траектория бильярда в многоугольнике (рис. 20). Построим по этой ломаной специальную прямую. А именно, отразим наш многоугольник вместе с ломаной относительно той стороны многоугольника, на которой лежит точка (первое звено ломаной не трогаем). Согласно закону отражения, отрезок , симметричный отрезку , является продолжением отрезка , и первый кусок ломаной - нами выпрямлен. Теперь отразим второй, полученный из при первом отражении, многоугольник относительно той его стороны, на которой лежит следующая точка излома .