Геометрия прямоугольного бильярда

    ОГЛАВЛЕНИЕ

    ВВЕДЕНИЕ  2 
ГЛАВА I. Бильярд в круге.

1. Шар в круглом бильярде без луз.  5
2. Теорема Якоби. Применение к теории чисел. 13
3. Теорема Пуанкаре о возвращении.                              22

           
ГЛАВА II. Геометрия прямоугольного бильярда.

1. Бильярдный шар на прямоугольном столе без луз 26
2. Бильярд в прямоугольнике и торе 36

    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 40

    СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ 41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение

    Методы  исследования бильярдных систем (например, анализ поведения бильярдных траекторий), с одной стороны, примыкают к  традиционной геометрии, а с другой — лежат на стыке отраслей современной  математики — теории чисел, топологии, эргодической теории и теоретической  механики. Будучи, как правило, вполне элементарными, эти методы позволяют  получить далеко не элементарные выводы.

      Игра в бильярд на прямоугольном столе с лузами (рис. 1) появилась до нашей эры в Индии и Китае. Через много веков бильярд перекочевал в европейские страны — упоминание о нем имеется в английских  летописях  VI  века.

     Более поздние  сведения о появлении бильярда в Европе относятся к XVI веку. Так, французский король Карл IX в Варфоломеевскую ночь играл в бильярд, когда раздался условный звон колоколов парижского собора Сен-Жермен Д'Акселеруа. В 1760 году английский король Георг II издал указ, запрещающий игру в бильярд в общественных местах под страхом штрафа в 10 фунтов. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Как правило, в бильярд играли на прямоугольном столе с шестью лузами, из которых четыре располагались в углах стола, а две — в серединах более длинных сторон. Отличались эти игры лишь количеством шаров — иногда довольствовались тремя шарами (как, например, английский король Генрих VIII), а иногда — пятнадцатью или двадцатью.

    Подобно тому, как азартная игра в кости  вызвала к жизни «исчисление» вероятностей, игра в бильярд послужила  предметом серьезных научных  исследований по механике и математике. Описанию движения бильярдного шара (с учетом трения) на прямоугольном  столе с лузами посвящена   книга   известного    французского    физика   Г.Г.Кориолиса, написанная им в 1835 году за год до избрания его  академиком Парижской академии наук.

    Известны  различные варианты игры на бильярде. Например, так называемый французский бильярд вообще не имеет луз (при игре во французский бильярд нужно попасть в заданный шар после нескольких столкновений с другими шарами. Французский бильярд и послужил прообразом математического бильярда.

    Рассмотрим  горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов (рис. 2).

     Спрашивается, какой может быть траектория этого  шарика? Математическая проблема бильярда, или проблема траекторий, состоит в том, чтобы найти ответ на этот вопрос. Описанная механическая система — точечный шар в бильярдной области Q, ограниченной бортом Г (границей области Q), — и называется математическим бильярдом. Траектория бильярда в области Q определяется начальным положением точки  q () и начальным вектором ее скорости v.

    Пренебрежение трением означает, что абсолютная величина скорости v при движении точки считается неизменной во времени, поэтому задаваемый в начальный момент времени t = 0 вектор v можно считать единичным, характеризующимся лишь своим направлением. Направление вектора v(t), т.е. направление движения шара, меняется только при его ударе о борт. Это происходит по закону абсолютно упругого отражения: после удара шара (точки q(t)) о борт Г в точке P шар движется так, что его «угол падения равен углу отражения». Если борт Г в окрестности точки P криволинейный, то углы падения и отражения — это углы, составленные «падающим» и «отраженным» отрезками траектории с касательной MN к кривой Г, проведенной в точке P (рис. 2). Таким образом, траектория бильярда — это вписанная в кривую Г ломаная, которая может быть однозначно построена по своему начальному звену.

    Борт Г бильярда может иметь и точки излома — типа точек А₁, А₂, ... (рис. 2). Касательная к кривой Г в такой точке не определена. Поэтому бильярдную траекторию, попадающую в такую точку, будем считать оканчивающейся в ней. Такие «тупиковые» траектории в определенном смысле исключительны, и их, как правило, рассматривать не будем. Сформулированная выше проблема траекторий относится к поведению не особых, бесконечных во времени траекторий.

     Общая математическая проблема бильярда заключается в  том, чтобы описать возможные  типы бильярдных траекторий в данной области Q. Простейший принцип такого описания — разделение траекторий на периодические, или замкнутые, и остальные — непериодические. На рис. 3 изображены некоторые периодические траектории бильярдов в прямоугольнике, в правильном треугольнике, в круге. Траектория с «начальным условием» будет периодической (или замкнутой), если через некоторое время (через период), точка возвращается в свое начальное положение q с первоначальной скоростью .                                                    

    Периодические движения воспринимаются как наиболее «правильные» — таковыми представляются, например, движения планет около Солнца и качания маятника. 
 
 
 
 
 

Глава 1. Бильярд в круге.

1. Шар в круглом  бильярде без луз. 

    Рассмотрим  шар в круге Q, ограниченном окружностью Г. Его траекториями являются вписанные в Г ломаные …, обладающие свойством равенства в точках ,... углов падения и отражения, отсчитываемых от касательных или от радиусов ,... (рис. 4, а).

    Отметим, что из этого свойства следует, во-первых, что все звенья траектории равны между собой:

    === … =

    И, во-вторых, что равны опирающиеся на них центральные углы:

    = = =...

    Действительно, для любого k=1,2,3,... равны треугольники и , как равнобедренные с равными углами при основаниях (рис. 4, б), откуда и вытекают указанные равенства хорд и центральных углов.

    Нетрудно  видеть также, что середины всех звеньев траектории удалены от центра круга на одинаковые расстояния и, таким образом, расположены на окружности с тем же центром O. Следовательно, вся бильярдная траектория расположена в круговом кольце (рис. 4, в).

    Это позволяет очень просто строить  все звенья бильярдной траектории по какому-то одному из них — для этого достаточно провести концентрическую с исходной окружность γ радиуса ОК, где К — середина данного звена, затем из концов этого звена провести касательный к окружности γ до пересечения с внешней окружностью Г, затем из концов построенных хорд — опять касательные к окружности γ до пересечения с Г, и так далее - это и будут звенья искомой бильярдной траектории.

    Таким образом, было установлено важное свойство: любая бильярдная траектория в круге никогда не заходит внутрь некоторого концентрического круга, границы которого касаются все ее звенья. Отсюда следует, что бильярд в круге не эргодичен, поскольку эргодичность означает, не только прохождение шара через любой маленький кружок внутри области Q в какой-то момент времени, но и, в частности, пребывание в ней за большой промежуток времени T доли времени, равной в пределе (когда T устремляется к бесконечности) отношению площади этого кружка к площади всей области Q. Для круга же не выполнено даже первое из этих условий, которое носит название всюду плотности бильярдной траектории. Поэтому бильярдная траектория в круге не всюду плотна в нем.

    Тем не мене можно выяснить не только указанные  факты отрицательного, гак сказать, свойства, но и полностью решить проблему бильярда в круге: дать критерий, позволяющий выделять периодические траектории и изучить характер поведения непериодических траекторий.

    Для этого обозначим через  α  радианную меру углов .. Ясно, что каждая вершина траектории ... получается из предыдущей вершины поворотом на угол α относительно центра O окружности Г, откуда следует, что вершина получается из начальной вершины поворотом на угол . Докажем, что вид бильярдной траектории в круге полностью определяется числом α. А именно:

    а) если число α соизмеримо с π, т. е. дробь является рациональным числом (равным некоторой дроби с целыми m и n (n ≠ 0)) то бильярдная траектория периодична.

    б) если α и несоизмеримы, т. е. число иррационально, то отвечающая углу α  траектория непериодична.

    Доказательство. а) Если  α  соизмеримо с  , то его можно представить в виде , где т и п - целые числа .Тогда пα = 2, и поэтому при повороте на угол пα каждая точка окружности Г переходит в себя. В частности, все вершины рассматриваемой бильярдной траектории … … обладают тем свойством, что  

    т. е. вершины, начиная с n-й, повторяются. Это и означает, что бильярдная траектория периодична, и утверждение пункта (а) доказано.

    Сколько же звеньев будет содержать рассматриваемая  траектория

? Если несократимая дробь, то отвечающая α периодическая траектория — это траектория , где п - знаменатель указанной дроби, и состоит она ровно из п звеньев. При m=1 это будет правильный n-угольник, вписанный в окружность Г (рис. 5, а), а при т ≥ 2 бильярдная траектория представляет собой правильную самопересекающуюся замкнутую (звездчатую) ломаную, вписанную в Г (рис. 5, б).

    Иными словами, бильярдный шар после  n отражений от борта Г оказывается в исходной точке , сделав m оборотов вокруг центра O (т.е. повернувшись вокруг центра на угол ).

        б) Предположим, что бильярдная траектория и в этом случае периодична. Докажем тогда, что α и π соизмеримы, что противоречит условию пункта (б) и тем самым доказывает его утверждение.

    Из  периодичности траектории вытекает, что, начиная с некоторого номера n, вершины траектории повторяются: , и т.д. Но это означает, что при повороте на радиан точка переходит сама в себя; следовательно, есть целое кратное полного угла: Отсюда - рациональное число. Искомое противоречие получено.

    Доказательство  пункта (а)  полностью  описывает  периодические траектории в круге. Доказательство же пункта (б) велось от противного и поэтому качественное поведение непериодических траекторий остается неизвестно. Однако интуитивно ясно, что непериодическая бильярдная траектория должна вести себя, в отличие от периодической, неким «нерегулярным» способом.

    Эту «нерегулярность» можно представить, например, так. Будем считать, что  бильярдный шар при движении оставляет  «чернильный след» ненулевой  «толщины». Если шар описывает периодическую  траекторию, то, хотя она может быть очень «звездчатой», и заполнять  кольцо K между внешней и внутренней окружностями Г и γ «очень плотно», но все-таки не «всюду плотно» — на кольце обязательно останутся такие участки (например, маленькие кружки), которые периодическая траектория никогда не пересечет (рис. 6).

    Иное  дело, когда шарик описывает непериодическую  траекторию. В этом случае он рано или  поздно побывает в любом кусочке  кольца К. Другими словами, каким бы тонким ни был чернильный след, оставляемый бильярдным шаром (но имеющим все-таки ненулевую толщину), он со временем обязательно закрасит все кольцо K целиком (рис. 7). Это и означает нерегулярность, а на математическом языке — «всюду плотность» бильярдной траектории в кольце K. (Ранее было доказано, что бильярдная траектория в круге Q не всюду плотна, т.е. чернильный след шара не может закрасить всего круга. Однако для кольца K такая возможность логически ничему не противоречит).