Геометрия прямоугольного бильярда

stify">    Оказывается, непериодическая траектория в круге  Q действительно всюду плотна в кольце K с границей Г. Отметим, что утверждение о всюду плотности бильярдной траектории в кольце будет вытекать из того факта, что точки отражения шара от борта ,..., расположены на окружности Г всюду плотно, т.е. внутри любой дуги D окружности Г имеется хотя бы одна точка . Это последнее утверждение носит название «теорема Якоби». Отметим здесь, что теорема Якоби является основным инструментом при доказательстве почти всех дальнейших теорем, связанных с «всюду плотностью» бильярдных траекторий.

    После всего сказанного бильярд в круге  можно считать полностью исследованным. Резюмируем полученные результаты в  виде теоремы.

    Теорема 1. Траектория бильярда в круге является либо периодической, если число — рационально, либо всюду плотной в кольце К между бортом Г и концентрической с Г окружностью γ, если число — иррационально. 

    Задача.

    а) Докажите, что никакая непериодическая бильярдная траектория в 
круге не содержит двух параллельных звеньев.

    б) Может ли у периодической бильярдной траектории в круге, какие- 
то два звена которой параллельны друг другу, быть 1717 звеньев? 1718 
звеньев? А если она самопересекающаяся? Если может, укажите способ 
построения всех периодических траекторий таким числом звеньев и найдите 
максимальную длину траектории из этого класса (принимая радиус 
круга за 1).

    в) Обобщите вопрос пункта б) на произвольное число звеньев п. 
   Решение. а) Если какие-то два звена и траектории параллельны, то они центрально-симметричны относительно центра круга O. Поэтому и вся траектория центрально-симметрична относительно O (рис. 8). Значит, если шар перешел со звена на звено после отражений, то еще через отражений он вернется на звено , и вся траектория замкнется — траектория окажется периодической.

    Поэтому, если заранее выбрать радиус r внутренней окружности у кольца K (радиус внешней равен 1) и провести к две параллельные касательные то они заведомо не будут звеньями одной траектории, если только число несоизмеримо с π.

б), в). Если бильярдная траектория периодическая  и содержит два параллельных звена, то все звенья разбиваются на пары параллельных (рис. 9), так что число звеньев п в этом случае обязательно четно. Итак, 1717 звеньев быть не может. 1718 звеньев у траектории быть может — например, у правильного вписанного 1775-угольника P. Остальные бильярдные траектории с изломами в вершинах многоугольника P получатся, если соединять эти вершины через одну, через две, через три и т.д. Однако 1718 = (859 — простое число), поэтому, соединяя вершины через одну, получим два 859-угольника без общих вершин. Аналогична ситуация, когда соединяются вершины через 3 (на четвертую), через 5 (на 6-ю) и т. д.— получается несколько замкнутых ломаных. Если же соединять вершины через на -ю, где взаимно просто с 1718 (вершину l соединить с ()-й, 2-ю с ()-й и т. д.), то полученные замкнутые бильярдные ломаные будут содержать ровно 1718 звеньев, причем все звенья будут разбиты на 859 пар попарно параллельных (см. рис. 9, на котором изображена траектория из 14 = звеньев). Наибольшей длины звенья будут у траектории, соединяющей вершины l и 858, 2 и 859, 3 и 860 и т.д. Из треугольника на рис. 10 следует, что длина звена (l; 858) равна: 
 

    Поскольку угол, стоящий под знаком синуса, равен примерно , имеем , поэтому максимальная длина бильярдной траектории из 1718 звеньев равна: 

Шар при  ее обходе сделает 857 оборотов.

 

 
 

2. Теорема Якоби. Применение к  теории чисел.

 

    Теорема 2. Если и π несоизмеримы (т.е. число — иррационально),

то  любая траектория бильярда в круге, отвечающая углу α (т.е. каждое звено которой видно из центра круга под углом α; рис. 4,б), всюду плотно заполняет кольцо К.

    Доказательство  теоремы 2 опирается на следующую теорему, в дальнейшем применяемую в качестве основного рабочего инструмента при доказательстве утверждений.

    Теорема   Якоби   (3).  Пусть α — несоизмеримое с π число, {_,...,} = {_k} — бесконечная последовательность точек окружности

Г такая, что каждая следующая точка последовательности получается из предыдущей точки _k  поворотом около центра на α радиан. Тогда для любой дуги окружности Г хотя бы одна точка последовательности {} лежит на этой дуге.

    Прежде  чем доказывать теоремы Якоби, выведем  из нее теорему 2. Доказательство теоремы 2. Пусть α — несоизмеримое с λ число, γ — окружность, которой касаются все звенья каждой отвечающей углу α бильярдной траектории внутри окружности Г. Пусть K — кольцо между γ и Г, а  D — произвольный кружок внутри кольца К. Проведем через центр кружка D хорду MN окружности Г, касающуюся окружности γ (рис. 11). Если провести касательные к кружку D касающиеся окружности γ, то они высекут на окружности Г некоторую дугу , в которой расположена точка М. Очевидно, что для любой другой точки М’ дуги , касательная, проведенная из нее к окружности у по ту же сторону, что и хорда MN, пересечет кружок D.

    Рассмотрим  теперь любую бильярдную непериодическую  траекторию _,..., отвечающую углу α. Требуется доказать, что хотя бы одно из ее звеньев пересекает кружок D.

    Согласно  теореме Якоби, точки _,..., всюду плотно заполняют окружность Г. Следовательно, хотя бы одна из них, скажем , лежит на построенной выше дуге . В силу выбора этой дуги одно из двух звеньев траектории, выходящей из точки (а, тем самым, касательных к окружности γ), пересекает кружок D (в качестве точки М' на (рис. 11) следует взять точку _п). Тем самым теорема доказана.

    Доказательство  теоремы Якоби. Двигаясь от точки последовательными дуговыми шагами величиной α каждый (рис. 12) и попадая в точки ,... остановимся в точке _п, как только впервые перескочим точку (дуга меньше 2π, а дуга больше 2π).

    Обозначим точку буквой , а ближайшую к ней из точек (до перескока) и (после перескока) — буквой В. Тогда β — длина дуги АВ — не больше . 

    Начав двигаться от точки B прыжками величиной α, через некоторое число шагов попадем в точку, отстоящую от точки B на β, затем на 2β, потом на 3β и т.д. (рис. 12).

    Можно считать, что масштаб длины сжался и движение по окружности  Г идет дуговыми шагами уже величиной β, по крайней мере вдвое меньшими, чем величина шага α при начальном движении от точки А.

    После определенного числа шагов величиной  β каждый, впервые перескочим точку В и выберем после этого ближайшую к ней (из двух точек — до перескока и после него) точку С. Пусть длина дуги ВС равна φ, тогда φ. Как и выше, получим, что можно опять изменить масштаб длины и считать теперь величину прыжка равной φ.

    Повторяя  описанный процесс k раз, получим величину прыжка, не большую чем . Но при больших k величина стремится к нулю, т.е. становится меньшей произвольного числа ε > 0, так что попадем в любую, сколь угодно малую дугу , произвольно выбранную на окружности Г. Теорема Якоби доказана.

    Определение. Произвольная бесконечная последовательность точек на единичной окружности (или на отрезке [0, 1]) называется равномерно распределенной на (на [0, 1]), если для любой ее дуги (интервала) «доля» попавших на нее точек равна длине этой дуги (интервала) l().

    Иными словами, если ограничиться лишь конечным числом п точек _, то отношение числа k(п) точек, попавших в дугу , к общему числу точек п, т.е. их доля на окружности длины 1, будет мало отличаться от длины дуги l(). Это отличие будет тем меньше, чем большее число точек рассматривается, и в пределе при п величины и l() совпадут.

    Сказанное можно выразить формулой: 

     (1)

    Свойство  равномерной распределенности —  асимптотическое. Можно доказать следующее  утверждение.

    Теорема о равномерном  распределении точек  на окружности (4).

    Последовательность  точек ... на окружности , полученных каждая из предыдущей поворотом на иррациональный (несоизмеримый с ) угол α, равномерно распределена на .

    При доказательстве теоремы Якоби использовано то обстоятельство, что сначала производились  прыжки одинаковой величины α, затем (после изменения масштаба длины) — прыжки одной и той же величины β≤, затем все прыжки становились равными γ≤, и т.д. Итак, при каждой замене масштаба прыжки имеют одну и ту же величину, которая меньше величины прыжка при предыдущей замене масштаба в 2 или большее число раз.

1. Известно,  что  члены  геометрической  прогрессии со знаменателем , по модулю меньшим 1, образуют экспоненциально стремящуюся к 0 последовательность.
2. Равенство длин этих прыжков и их экспоненциальное убывание.
3. При каждой замене масштаба означает, что число точек, попавших в данный интервал , пропорционально его длине — это выполнено тем точнее, чем больше сделано замен масштабов длины. Но это и означает равномерность распределения.

    Теорема  Вейля  (5).

    Если  среди коэффициентов многочлена хотя бы один - число иррациональное, то последовательность , где равномерно распределена на полуинтервале [0, 1). 
 

    Теория  равномерного распределения была создана  Г.Вейлем в 1916 году. Она появилась  на стыке нескольких математических дисциплин (действительный и комплексный  анализ, теория чисел, теория вероятностей и др.) и долгое время ее приложения ограничивались различными вопросами  «чистой» математики и механики. Вычислительная математика заинтересовалась равномерно распределенными последовательностями в 50-х годах, после возникновения  методов Монте-Карло, когда оказалось, что точки таких последовательностей  могут в некоторых случаях  играть роль квазислучайных чисел.

    Метод Монте-Карло можно определить как  метод моделирования случайных  величин с целью вычисления характеристик  их распределений.

    Возникновение идеи использования случайных явлений  в области приближённых вычислений принято относить к 1878 году, когда  появилась работа Холла об определении  числа π с помощью случайных бросаний иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Существо дела заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число π, и приближённо оценить эту вероятность. Отечественные работы по методу Монте-Карло появились в 1955-1956 годах. С того времени накопилась обширная библиография по методу Монте-Карло. Даже беглый просмотр названий работ позволяет сделать вывод о применимости метода Монте-Карло для решения прикладных задач из большого числа областей науки и техники.