Геометрия прямоугольного бильярда

    Получим следующий многоугольник  и образ звена при новом отражении будет, опять-таки, продолжением отрезка . Продолжая так и далее,   можно   любой   кусок   ломаной   ...   «выпрямить»,   т.е. последовательными отражениями превратить в отрезок прямой ... .

    Конечно, для разных траекторий придется делать различные последовательности выпрямляющих отражений. Подойдем к решению этой задачи по другому. Замостим всю плоскость  прямоугольниками, равными данному  и получим решетку из прямоугольников. Нарисуем на этой плоскости произвольный луч, не проходящий ни через одну из вершин получившихся прямоугольников, и с помощью процедуры, обратной, описанной, «сложим» этот луч в траекторию бильярда в исходном прямоугольнике ABCD (рис. 21, а). Заметим, что при таком «складывании» решетки прямоугольников в исходный прямоугольник ABCD в каждую точку М прямоугольника ABCD попадает бесконечно много точек плоскости - именно, все те точки, которые получаются из М описанными выше отражениями (рис. 21, б).

    Если  траектория, выходящая из точки  М под углом к стороне АВ, периодична, то это означает, что после выпрямления из этой траектории получится прямая, проходящая через М и через одну из точек . Если нумеровать точки индексами m и n, как указано на (рис 21, б), то точка должна быть такой, что т₀ и — четные числа. Именно (и только) в этом случае бильярдный шар проходит через ту же точку М под прежним углом : номера и показывают, сколько нужно сделать отражений относительно вертикальных и горизонтальных сторон прямоугольников, чтобы получить из точки точку М; при этом нечетное число отражений меняет направление, четное же — не меняет (см. рис. 21, в). 
 
 
 

    Докажем, что неособая траектория, выходящая из точки М прямоугольника ABCD под углом а к стороне АВ, периодична в том и только в том случае, когда тангенс ее угла наклона соизмерим с отношением сторон — прямоугольника ABCD.

    Действительно, только что было выяснено, что периодичны те и только те траектории, которые (после выпрямления) соответствуют  прямым, идущим

из точки  M в одну из точек вида . Заметим теперь, что точка получается из M сдвигом на вектор (рис. 22, а), так что имеет катеты с длинами и . Таким образом, 

т.е. k соизмеримо с ^{. Обратно, если число} k соизмеримо с ^{., т.е. , то любая прямая, выходящая из точки} М с тангенсом угла наклона k, проходит через точку,  получающуюся из М сдвигом на вектор, т.е. через точку . Если эта прямая не проходит через вершины прямоугольников, то ей соответствует неособая периодическая траектория, что и требовалось доказать.

    Заметим, что в рассматриваемом случае все-таки можно продолжить и любую  особую, т.е. заканчивающуюся в одной  из вершин прямоугольника, траекторию за эту вершину: ничто не мешает на плоскости, замощенной равными прямоугольниками, продолжить, например, МС за вершину C (рис. 22, б), и считать тем самым, что, попав в вершину C, бильярдный шар вылетает из нее по тому же пути, по какому он туда залетел — после соответствующих отражений луч СМ' совмещается с лучом СМ. Таким образом, в случае бильярда в прямоугольнике можно считать, что движение по любой траектории продолжается неограниченно во времени (например, дважды проходимая диагональ АС прямоугольника — это периодическая траектория).

    Из  доказанного утверждения следует:

    Теорема 8.  Если тангенс угла наклона к траектории соизмерим с числом ^{, то независимо от начального положения бильярдного шара} его движение будет периодическим; в противном случае траектория непериодична.

    Итак, с помощью теоремы 7 по начальному звену траектории шара можно определять, является ли эта траектория периодической  или непериодической. Для этого  надо найти отношение длин сторон прямоугольника или, что то же самое, тангенс угла наклона диагонали  прямоугольника и тангенс угла, под  которым запущен шарик, и поделить первое число на второе. Если в результате получится рациональное число, то траектория периодична, если же — иррациональное, то непериодична. Отсюда сразу следует  также и то обстоятельство, что  для фиксированного начального вектора  скорости шара траектория будет периодической  или непериодической    независимо    от   его    начального    положения на прямоугольном столе. Поэтому, если запустить параллельно друг другу сразу несколько бильярдных шаров, они либо одновременно опишут периодические траектории, либо никогда не пройдут по своему старому следу. Последовательность отражений этих шаров

от бортов бильярда будет различной, если они  находятся достаточно далеко друг от друга. Если же шары находятся достаточно близко, то последовательность бортов, от которых они отражаются, будет одной и той же (рис. 23, а). Если первое звено траектории одного бильярдного шара окружить параллельными звеньями целого семейства траекторий других шаров, то полученные траектории, в случае, когда они периодические, заполнят самопересекающийся «коридор» (рис. 23, б). Таким образом, зная одну периодическую траекторию, параллельным сдвигом ее звеньев получим другую периодическую траекторию. 

    Как же ведет себя на прямоугольном столе  непериодическая бильярдная траектория? В круге, непериодическая траектория не заходила в некоторые участки  — в концентрический круг и, однако всюду плотно заполняла кольцо между  их границами. В прямоугольнике она  уже заходит во все его участки  и заполняет его всюду плотно. В этом и состоит основной результат  о непериодических траекториях  в прямоугольном бильярде.

    Теорема 9. Если - иррациональное число, то любая траектория

    с угловым коэффициентом  k всюду плотно заполняет весь прямоугольник, т. е. пересекает любой (сколь угодно малый) круг, лежащий внутри него.

    Таким образом, если точечный бильярдный шар  запустить из любого

положения М в любом направлении таком,  что число иррационально, где φ — угол наклона диагонали к горизонтальной стороне, то он рано или

поздно  столкнется с другим, уже неточечным бильярдным шаром (диском) N, куда бы его ни поставили и сколь бы мал он ни был! Следовательно, игрокам (в случае отсутствия трения) не нужно особенно стараться, чтобы попасть в другой шар (или лузу!), надо лишь иметь терпение и время, чтобы дождаться нужного столкновения.

    Для прямоугольного бильярда справедлива  следующая альтернатива: либо траектория бильярда периодична, либо всюду плотно заполняет прямоугольник.

    Задача.

    Имеется 2 сосуда вместимостью 7 и 11 литров и  большая бочка, наполненная водой. Как с помощью этих сосудов  отмерить ровно 2 литра воды? На сосудах  нельзя делать отметки, наклонять и  т.д.

    Решение.

    Как ни странно, головоломки на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающего от бортов стола, имеющего форму параллелограмма. Границы таких столов удобнее всего рисовать на бумаге, на которую нанесена сетка из равных равносторонних треугольников. В рассматриваемой задаче стороны стола должны иметь длины 7 и 11 единиц. По горизонтали отложено количество воды в 11-литровом сосуде в любой момент времени, а по вертикали – та же величина для 7- литрового сосуда.

    1. Пусть шар находится в левом  нижнем углу и после удара  начнет перемещаться вправо вдоль  нижней стороны параллелограмма  до тех пор, пока не достигнет  правой  боковой стороны. Координаты  точки, в которую ударился шар  - (11;0). Это означает, что мы полностью  наполнили жидкостью большой  сосуд, а малый остается пока  пустым.

    2. Отразившись упруго, шар покатится  вверх и влево и ударится  в точку верхнего борта, координаты  которой 4 по горизонтали и  7 по вертикали. Это означает, что  в большом сосуде осталось 4 литра  воды, а 7 литров воды из него  перелили  в малый сосуд. 

    3. Отразившись от точки (4;7), шар  ударится о нижний борт в  точку  с координатами 4 по горизонтали  и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде остается 4 литра жидкости, а из малого воду перелили в бочку, он пуст.

    4. Следующая точка, в которую  отразится шар, имеет координаты (0;4) – это означает воду из  большого сосуда перелили в  малый.

    5. Вновь отразившись, шар покатится  вправо, в точку, координаты которой  11 по горизонтали и 4 по вертикали.  То есть большой сосуд полностью  заполнили, а в малом по-прежнему  остаются те же 4 литра.

    6. Отразившись от правой боковой  стенки параллелограмма, шар ударится  в точку с координатами  8 по  горизонтали и 7 по вертикали.  Это означает, что из большого  сосуда воду перелили в малый.  Малый сосуд теперь полный, а  в большом – 8 литров жидкости.

    7. Отразившись от точки (8;7), шар  ударится о нижний борт в  точку с координатами 8 по горизонтали  и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде остается 8 литра жидкости, а из малого  воду перелили в бочку, он  пуст.

    8. Следующая точка, в которую  отразится шар, имеет координаты (1;7) . Воду из большого сосуда  перелили в малый, в большом  сосуде остался 1 литр воды.

    9. Отразившись от точки (1;7), шар  ударится о нижний борт в  точку с координатами 1 по горизонтали  и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде остается 1 литр жидкости, а из малого  воду перелили в бочку, он  пуст.

    10. Следующая точка, в которую  отразится шар, имеет координаты (1;0) . Воду из большого сосуда  перелили в малый,  большой  сосуд пуст.

    11. Вновь отразившись, шар покатится  вправо, в точку,  координаты которой  11 по горизонтали и 1 по вертикали.  То есть большой сосуд полностью  заполнили, а в малом по-прежнему  остается 1 литр воды.

    12. На следующем шаге, шар ударится  в точку с координатами 5 по  горизонтали и 7 по вертикали,  значит, малый сосуд полностью  наполнится жидкостью из большого  сосуда, а в большом сосуде  остается 5 литров.

    13. Отразившись от точки (5;7), шар  ударится о нижний борт в  точку с координатами 5 по горизонтали  и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде остается 5 литров жидкости, а из малого  воду перелили в бочку, он  пуст.

    14. Следующая точка, в которую  отразится шар, имеет  координаты (0;5) . Воду из большого сосуда  перелили в малый,  большой  сосуд пуст.

    15. На следующем шаге, шар ударится  в точку с координатами 11 по  горизонтали и 5 по вертикали,  значит, большой сосуд полностью  наполнится жидкостью из бочки,  а в малом сосуде остается 5 литров.

    16. Следующая точка, в которую  отразится шар, имеет координаты (9;7) . Воду из большого сосуда  перелили в малый, в большом  сосуде осталось 9 литров воды.

    17. Отразившись от точки (9;7), шар  ударится о нижний борт в  точку с координатами 9 по горизонтали  и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде остается 9 литров жидкости, а из малого  воду перелили в бочку, он  пуст.

    18. И, наконец, шар попадает в  точку, с координатами 2 по горизонтали и 7 по вертикали. Мы отмерили 2 литра воды. Является ли это решение единственным? Нет, существует второй путь, когда воду наливают сначала в 7-литровый сосуд.

Шар из точки 0 катится вверх вдоль левого борта до тех пор, пока не ударится о верхний борт. Вы можете убедиться, что за 14 отражений шар достигает  точки 2. Полученное решение с 14 переливаниями  является самым коротким.