Геометрия Лобачевского и ее модели

    Далее, всякая  теорема геометрии Лобачевского  описывает в модели Клейна  некоторые факты, имеющие место  внутри круга. Именно факты,  если мы берем не абстрактный круг, а реальный круг и реальные хорды и интерпритируем теоремы как утверждения об этих реальных вещах, взятые, конечно, с той точностью, которая доступна для наших построений. Таким образом, геометрия Лобачевского в модели Клейна имеет вполне реальный смысл с той точностью, с какой вообще имеет смысл геометрия в применении к реальным телам.

3) Отображение геометрии Лобачевского  на псевдосфере (интерпретация  Бельтрами)

      Эудженио  Бельтрами (1835-1900) нашел модель  для неевклидовой геометрии, показав в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» (1868г.), что наряду с плоскостями, на которых осуществляется евклидова геометрия, и сферическими поверхностями, на которые действуют формулы сферической геометрии, существуют и такие реальные поверхности, названные им псевдосферами (рис.23), на которых частично осуществляется планиметрия Лобачевского.

     Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии FCE, называемой трактрисой, вокруг ее оси АВ (рис.22). Итак, псевдосфера – это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на котором выполняются многие  аксиомы и теоремы

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 23

 

 

неевклидовой планиметрии  Лобачевского. Например, если начертить на псевдосфере треугольник, то легко усмотреть, что сумма его внутренних углов меньше 2π. Сторона треугольника – это дуги псевдосферы, дающие кратчайшее расстояние между двумя ее точками и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на плоскости. Эти линии, называемые геодезическими, можно получить, зажав туго натянутую и политую краской или мелом нить,  в вершинах треугольника. Таким образом, для планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель - псевдосфера. Формулы новой геометрии Лобачевского нашли конкретное истолкование. Ими можно было пользоваться, например, для решения псевдосферических треугольников. Псевдосферу, которую мы назвали «моделью», Бельтрами назвал интерпретацией (истолкованием) неевклидовой геометрии на плоскости.

Впоследствии, с развитием  и введением в математику  аксиоматического метода, под интерпретацией (или  моделью) некоторой системы аксиом стали понимать любое множество объектов, в которых данная система аксиом находит свое реальное воплощение, то есть, любая совокупность объектов, отношение между которыми    полностью совпадают с теми, которые описываются в данной системе аксиом. При этом полагают, что если для некоторой системы аксиом существует или можно построить интерпретацию (модель), то эта система аксиом непротиворечива, то есть, не только сами аксиомы, но и любые теоремы, на них логически основывающиеся никогда не могут противоречить одна другой.

X. Практическое применение геометрии Лобачевского.

1) Теорема Пифагора.

Теорема. Для всякого прямоугольного треугольника плоскости Лобачевского выполняется равенство ch c = ch a ·ch b, где a, b - длины катетов, c - длина гипотенузы этого треугольника, а ch x= (гиперболический косинус).

Доказательство. Воспользуемся моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского на евклидовой полуплоскости. Будем считать (см. рисунок ниже), что вершинам A, B, C данного прямоугольного треугольника соответствуют комплексные числа 
где  
так как этого всегда можно добиться с помощью некоторого неевклидова движения.

Используя формулу

 

Рис. 24

для вычисления неевклидова расстояния между точками z и w в H², получаем, что

Почленное перемножение двух первых соотношений и приводит, как показывает третье соотношение, к завершению доказательства теоремы.

2) Замечание к теореме Пифагора

Н.И.Лобачевским  было замечено, что созданная им неевклидова геометрия в бесконечно малом, то есть в первом приближении, совпадает с геометрией евклидовой плоскости. Проиллюстрируем это на примере теоремы Пифагора. Используя разложение гиперболического косинуса в ряд

получим для теоремы  Пифагора соотношение

Исключая теперь члены низшего порядка, приходим к теореме Пифагора евклидовой геометрии:

3) Площадь треугольника

Подробный вывод  формулы площади треугольника на плоскости Лобачевского приводить  не стоит  ввиду его сложности (в нем используется формулы, доказываемые лишь в курсе дифференциальной геометрии). 

                                                                                                                                                                                                                                                                                            

 

 

 

 

 

 

Рис. 25

Если АВС – треугольник  в модели Пуанкре, меры углов А,В  и С - α, β и γ соответственно,  - мера угла B в треугольнике ABD, а и мера углов B и C в треугольнике BCD. Тогда вследствие этого можно сформулировать теорему

Теорема.Для площади треугольника ABC с углами справедлива формула 

Следствие1.Площадь треугольника плоскости Лобачевского ограничена.

Следствие 2.Если дан выпуклый многоугольник    с внутренними углами      ^то    

4) Длина окружности и площадь  круга.

Теорема. Площадь  круга с радиусом r равна       

а длина окружности, ограничивающей этот круг, равна  , где . Длина неевклидовой окружности не пропорциональна радиусу, как в случае евклидовой геометрии, а растет быстрее. Также площадь неевклидова круга больше площади круга евклидовой плоскости, имеющего тот же радиус.

XI. Вывод.

 

Открытие неевклидовой геометрии, начало которому положил Лобачевский, не только сыграло огромную роль в развитии новых идей и методов в математике естествознании, но имеет и философское значение. Господствовавшее до Лобачевского мнение о незыблемости  геометрии Евклида в значительной мере основывалось на учении известного немецкого философа  И. Канта (1724-1804), родоначальника немецкого классического идеализма. Кант утверждал, что человек упорядочивает явления реального мира согласно априорным представлениям, а геометрические представления и идеи якобы априорны (латинское слово aprior  означает – изначально, заранее), то есть, не отражают явлений действительного мира, не зависят от практики, от опыта, а являются врожденными человеческому миру, раз и навсегда зафиксированными, свойственными человеческому разуму, его духу. Поэтому, Кант считал, что Евклидова геометрия непоколебима, неизменна, и является вечной истиной. Еще до Канта геометрия Евклида считалась незыблемой, как единственно возможное учение о реальном пространстве.

   Открытие неевклидовой  геометрии доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.

Н.И. Лобачевский, как известно, предпринял попытку  исследования реального пространства, используя для этой цели астрономические данные. Он надеялся, что с помощью астрономических измерений можно будет обнаружит отклонение геометрии реального пространства от евклидовой. Хотя его вычисления не позволили опытным путем доказать гипотезу о неевклидовости реального пространства, сама гипотеза оказалась гениальным предвидением.

Из выше сказанного вытекает органическая связь между  двумя великими достижениями человеческого разума - геометрией Лобачевского и теорией относительности Эйнштейна. При этом геометрия Лобачевского предшествовала теории относительности не только во времени, но и в идейном отношении.

Таким образом, аксиоматический метод и аксиоматические  исследования Лобачевского сыграли огромную роль в развитии геометрии как науки, а также нашли свое отражение и в теории познания, т.е. переоценить их значение невозможно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XII. Литература.

1. Математика XIX века, «Наука», М., 1981
2. “Квант” №11,№12 Академик АН СССР А.Д. Александров, Интернет-издания.
3. Юшкевич А.П., История математики в России, «Наука», М., 1968г.
4. Ефимов Н.В., Высшая геометрия, «Наука», М.,1971г.
5. Неевклидовы пространства и новые проблемы физики, «Белка», М., 1993г.
6. Клайн М., Математика. Утрата определенности, «Мир», М., 1984г.
7. Г.И. Глейзер. История математики в школе IX – X классы. Пособие для учителей. Москва, «Просвещение» 1983г.
8. Б.Л. Лаптев.  Н.И. Лобачевский  и его геометрия. Пособие для учащихся. М. «Просвещение», 1970г.
9. Розенфельд Б.А. Геометрия Лобачевского и теория относительности П Математиков в школе.- М., 1965г.
10. И.М. Яглам.  Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. Серия  «Библиотека математического кружка» М: 1963г.
11. Н.Г.Подаева , Д.А. Жук. Лекции по основам геометрии. Елец: 2008г.
12. В.Т.Базылев, К.Л.Дуничев. Геометрия ч. II. М: 1975г.
13. Д.Гильберт. Основания геометрии.- М: ГИТТЛ 1948г.
14. Л.С.Атанасян, В.Т.Базылев. геометрия ч. II . Москва «Просвещение» 1987г.
15. Н.В.Ефимов. Высшая геометрия. М: 1978г.
16. http://www.bankreferatov.ru
17. http://www.refportal.ru
18. http://www.egu.ru