Геометрия Лобачевского и ее модели

Министерство  Образования и Науки Российской Федерации

Федеральное Агентство  по Образованию

Елецкий Государственный  Университет им. И.А. Бунина

 

 

 

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры  и геометрии

 

 

 

 

Курсовая работа

на тему:

«Геометрия Лобачевского и ее модели».

 

 

 

 

 

Выполнил: студент 4 курса

                                                                                       группы М-41: Зверева Д.А.

                                                                                 Научный руководитель:

                                                              Подаева Н.Г.

 

 

 

 

 

Елец 2009г.

Оглавление.

I. Введение……………………………………………………….…………………3

II. Н.И.Лобачевский и его геометрия……………………………………….…… 6

III. Пятый Постулат Евклида…………………………………………….………..9

IV. Система аксиом Гильберта………………………………………….……….12

Группа 1. Аксиомы принадлежности…………………………………….12

Группа 2. Аксиомы порядка………………………………………………13

Группа 3. Аксиомы конгруэнтности……………………………………...14

Группа 4. Аксиомы непрерывности………………………………………15

Группа 5. Аксиома параллельности………………………………………16

V. Аксиома Лобачевского . параллельные прямые по Лобачевскому …….....17

VI. Теорема о существовании параллельных прямых……………………...….19

VII. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского……...…24

VIII. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского…....26

IX. Три модели геометрии Лобачевского……………………………………….31

1) Модель Пуанкре……………………………………………………...…31

2) Модель Клейна………………………………………………………….32

3) Интерпритация Бельтрами………………………………...……...……34

X. Практическое применение геометрии Лобачевского………………...……..35

1. Теорема Пифагора…………………………………………………..……..35
2. Замечание к теореме Пифагора……………………………………...……36
3. Площадь треугольника…………………………………...…….…………37
4. Длина окружности и площадь круга………………………....…………..38

XI. Вывод………………………………………………………………………….38

XII. Список литературы..................................................................................…...40

 

 

I. Введение.

Геометрия – это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека».

Многие первоначальные геометрические сведения получили также  шумеро-вавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств.

Как наука, геометрия  впервые сформировалась в Древней  Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее  опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.

В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала». Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире.

Внимательное изучение системы Евклида привело ученых к выводу, что в «Началах» имеются довольно серьезные недоработки. Например, число аксиом, сформулированных Евклидом, является недостаточным для строгого изложения геометрии, поэтому Евклид при изложении некоторых своих доказательств опирался на непосредственную очевидность, наглядность, интуицию и чувственные восприятия.

Кроме геометрии, которую  изучают в школе (Геометрии Евклида  или употребительной геометрии), существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского. Эта геометрия существенно отличается от евклидовой, например, в ней утверждается, что через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной прямой, что сумма углов треугольника меньше 180^о. В геометрии Лобачевского не существует прямоугольников, подобных треугольников и так далее.

Данная тема интересна мне по нескольким  причинам: теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир, это

интересный, необычный  и прогрессивный раздел современной  геометрии, она дает материал для размышлений – в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением. Ситуация с геометрией Лобачевского и геометрией Евклида во многом похожа на ситуацию с Теорией относительности Эйнштейна и классической физикой. Геометрия Лобачевского и ОТП Эйнштейна это прогрессивные взаимосвязанные теории, выполняющиеся на огромных величинах и  расстояниях, и остающимися верными на приближениях к нулю. В пространственной модели ОТП используется не обычная евклидовая плоскость, а искривленное пространство, на котором верна теория Лобачевского.

Неевклидова геометрия  появилась вследствие долгих попыток  доказать V постулат Евклида, аксиому параллельности. Эта геометрия во многом удивительна, необычна и во многом не соответствует нашим привычным представлениям о реальном мире. Но в логическом отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида.

Попытки логически  безупречно обосновать геометрию продолжались в течение многих сотен лет. Открытие в начале XIX века неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевским, Я. Бойяи и К. Гауссом явились толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода, который привел к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным требованиям науки.

Так, немецкий математик М. Паш предложил аксиомы  порядка, связанные с логически необоснованным до тех пор понятием «между». Итальянские математики Дж. Пеано, Дж. Веронезе, М. Пиери также внесли определенный вклад в дальнейшее обоснование геометрии в разработку аксиоматики обоснования арифметики. Г. Кантор и Р. Дедекинд исследовали аксиомы непрерывности.

В связи с этими достижениями перед наукой встала историческая задача, связанная со строгим обоснованием геометрии на рубеже XIX и XX столетий, решение которой было предложено, независимо друг от друга, рядом ученых. В истории развития аксиоматического метода важную роль сыграли аксиомы Д. Гильберта, немецкого ученого (1862-1943), выделявшегося среди плеяды ученых того периода. Эти аксиомы в свое время соответствовали уровню строгости геометрии. В 1899 г. Д. Гильберт писал: «Геометрия, так же как и арифметика, требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются аксиомами геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений - это задача, которая со времен Евклида явилась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления.

Аксиоматический метод, впервые разработанный Д. Гильбертом в геометрии с новых  позиций, проник и в другие ветви  математики: в теорию множеств, алгебру, топологию, теорию вероятностей и др. Кроме этого, аксиоматический метод стал использоваться и при построении других наук, в особенности физики. Эти достижения связаны с переворотом в геометрии, совершенным Н.И. Лобачевским. Исторически сложилось, что именно к пятому постулату Евклида на протяжении многих веков было привлечено внимание математиков. Глубоко проанализировав попытки доказательства пятого постулата, как свои, так и принадлежащие другим математикам, Н.И. Лобачевский пришел к убеждению о независимости этого постулата от остальных аксиом, т.е. к непротиворечивости геометрии, в которой аксиоматизируется существование двух различных прямых, проходящих через данную точку параллельно заданной прямой.

Н.И. Лобачевский  не только предугадал существование  новой геометрии - неевклидовой, но и детально ее разработал. Его точка зрения противоречила всем представлениям человека об окружающем мире. Новая геометрия резко расходилась с философским взглядом того времени на пространство (И.Кант), поэтому это открытие было ошеломляющим. Получалось так, что предположение о неевклидовости реального физического пространства не противоречило аксиомам Евклида, кроме пятого постулата.

В 70-е годы прошлого столетия была доказана непротиворечивость геометрии, по праву получившей имя Лобачевского. Доказательство это было построено с помощью моделей Кэли-Клейна и Пуанкаре.

II.Н. И. Лобачевский и его геометрия.

 До начала XIX столетия ни одна из попыток доказательства V постулата не увенчалась успехом. Таким образом, проблема V постулата оставалась неразрешимой. И только в начале XIX в. были получены результаты, которые привели к решению этой проблемы. Основная заслуга в этом принадлежит знаменитому русскому ученому Н. И. Лобачевскому.

Николай Иванович Лобачевский родился 2 декабря 1792 г. в Нижнем Новгороде (ныне г. Горький). Он окончил гимназию при Казанском университете, а затем и Казанский университет, после чего был оставлен там преподавателем. С 1816 г. Н. И. Лобачевский — профессор того же университета, с 1827 по 1846 г.— ректор университета. С 1846 по 1855 г.— помощник попечителя Казанского учебного округа. Н. И. Лобачевский скончался 24 февраля 1856 г.

В течение первых лет  преподавательской деятельности в  Казанском университете Н. И. Лобачевский настойчиво пытался доказать V постулат. Неудачи этих попыток и попыток его предшественников привели его к выводу, что V постулат не может быть выведен из остальных постулатов геометрии. Чтобы это доказать, Н. И. Лобачевский построил логическую систему, в которой, сохраняя основные посылки Евклида, он отвергает V постулат и заменяет его противоположным допущением. Он пришел к выводу, что эта логическая схема представляет собой новую геометрию, которая может быть развита так же успешно, как и геометрия Евклида.

7 февраля (по старому  стилю) 1826 г. Н. И. Лобачевский  представил физико-математическому факультету Казанского университета доклад по теории параллельных под названием «Рассуждения о принципах геометрии». В 1829 г. в «Ученых записках Казанского университета» он поместил статью «О началах геометрии». Это была первая опубликованная работа по новой геометрии. В последующие годы Лобачевский издал еще ряд сочинений по геометрии. В этих сочинениях он первым отчетливо сформулировал и обосновал утверждение о том, что V постулат Евклида нельзя вывести из остальных аксиом геометрии.

Лобачевский развивает свою геометрию на плоскости и в пространстве до тех же пределов, до каких была развита Евклидова геометрия, включая и формулы тригонометрии. Эту новую геометрию он назвал «воображаемой» (впоследствии ее стали называть геометрией Лобачевского или гиперболической геометрией).

Открывая все новые  и новые факты, Лобачевский не встретил в своей геометрии каких-либо логических противоречий. Исследования, проделанные им, привели к убеждению, что его логическая схема свободна от логических противоречий. Желая показать, что его геометрия никогда не приведет к противоречию, Лобачевский дает ее аналитическое исследование и решает проблему непротиворечивости своей геометрии вполне удовлетворительно для того времени. Лобачевский показал, что его геометрия может быть с пользой приложена в математическом анализе: он вычислил много интегралов, которые до него не поддавались вычислению.

2. Примерно в одно  время с Н. И. Лобачевским  теорией параллельных прямых занимались великий немецкий математик Гаусс (1777—1855) и выдающийся венгерский математик Я. Бояи (1802— 1860). Но Гаусс не опубликовал ничего по теории параллельных, боясь, что его не поймут. После смерти Гаусса в его бумагах были найдены наброски отдельных наиболее простых теорем гиперболической геометрии. Я. Бояи опубликовал в 1832 г. (через три года после публикации Лобачевского и не зная о последней) на латинском языке произведение «Приложение, излагающее абсолютно верное учение о пространстве, независимое от правильности или ложности XI аксиомы Евклида...». В этой работе, составившей приложение к математическому трактату его отца Фаркаша Бояи, Янош Бояи изложил ту же теорию, что и Лобачевский, но в значительно менее развитой форме.

Результаты Лобачевского оказались настолько необычными для математиков, воспитанных на идеях геометрии Евклида, что не были поняты большинством из его современников   (и даже академиком М.В.Остроградским — одним из крупнейших математиков XIX в.). Лишь после смерти Гаусса, когда была опубликована переписка Гаусса с некоторыми его друзьями-математиками, в которой содержались восторженные отзывы об исследованиях Лобачевского и Бояи, внимание математиков всего мира было привлечено к геометрии Лобачевского; появились многочисленные исследования, связанные с ней. Особое впечатление произвела работа Бельтрами «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии», опубликованная в 1868 г.  В ней были указаны поверхности, на которых в малом осуществляется двумерная геометрия Лобачевского.

Наконец, в 1871 г. знаменитый немецкий математик Ф.Клейн (1849—1925) в работе «О так называемой неевклидовой геометрии» доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем устранил последние сомнения в ее правомерности.