Геометрия Лобачевского и ее модели

Исследования Лобачевского получили широкое признание после  его смерти. Оказалось, что работы Лобачевского по геометрии представляют собой новый этап в развитии естествознания (недаром английский математик XIXв. Клиффорд называл Лобачевского Коперником геометрии). До Лобачевского евклидову геометрию считали единственно возможным учением о пространстве. Работы Лобачевского опровергли такой взгляд, привели к широким обобщениям в геометрии и их важнейшим приложениям в различных разделах математики, механики, физики и астрономии.

3. Выше было отмечено, что с научной точки зрения  систему аксиом и постулатов  Евклида нельзя признать вполне удовлетворительной, так как у Евклида при изложении геометрии приходится в ряде случаев использовать утверждения, которые явно не высказаны и не доказаны.

В конце 60-х годов прошлого столетия перед математиками возникла задача построить такую систему аксиом элементарной геометрии, на базе которой, опираясь лишь на законы логики, без ссылок на наглядность и очевидность можно было бы изложить всю геометрию. Эта задача стала особенно актуальной после того, как идеи Лобачевского получили всеобщее признание и появились работы Б. Римана по эллиптической геометрии.

В конце XIX и в начале XX в. появились многочисленные работы по обоснованию геометрии ряда таких крупнейших математиков, как Паш, Пеано, Пиери, Гильберт, Вейль и др. Наиболее исчерпывающими явились работы Гильберта и Вейля. Эти исследования оказали большое влияние на формирование аксиоматического метода, который применяется во всех разделах современной математики.

Книга Гильберта «Основания геометрии», вышедшая в 1899 г., сыграла существенную роль в этой серии исследований. Она в 1903 г. была удостоена Международной премии имени Н. И. Лобачевского. В ней впервые дан список аксиом, достаточный для логического построения евклидовой  геометрии. Можно сказать, что с «Оснований геометрии» Гильберта начинается современный аксиоматический метод в математике. Однако рассмотрим все по порядку.

 

III. Пятый постулат Евклида.

Евклид так определяет параллельные прямые: две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки.

Лемма 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест (лежащие углы (или соответственные углы) равны, то прямые не пересекаются.

□ Пусть при пересечении  прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны (например, 1 = 2 на рис. 206). Если допустить, что прямые а и b пересекаются в некоторой точке Р, то получим треугольник АВР, у которого один из углов при вершине А или В равен внешнему углу при другой вершине (см. рис.).

 

Но это противоречит теореме о внешнем угле треугольника. Второе утверждение теоремы непосредственно следует из доказанного. Чтд.

Возникает вопрос: сколько  же через точку М, не лежащую на прямой а, проходит прямых, параллельных прямой а? Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема 1. Если имеет место V постулат, то через каждую точку М, не лежащую на прямой а, проходит только одна прямая, параллельная прямой а.

□ Проведем прямую MN, перпендикулярную к прямой а, N а, и прямую b, проходящую через точку М перпендикулярно к прямой MN (см. рис ниже). Тогда прямые а и b параллельны.

Проведем через точку М произвольную прямую b’ отличную от прямой b. Один из смежных углов 1 либо 2,  отмеченных на  этом же рисунке , острый;  пусть 1 острый. При пересечении прямых а и b' с прямой MN получаем внутренние односторонние углы:  1 и 3, сумма которых меньше двух прямых углов, значит, по V постулату прямые а и b' пересекаются.  ■

 

Существует и обратная теорема:

Теорема 2. Если принять,  что  через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только  одна прямая,  параллельная данной, то  справедлив V постулат.

Итак, V постулат эквивалентен (равносилен) так называемой аксиоме параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более чем одна прямая, параллельная данной.

Лемма 2. Для произвольного треугольника ABC можно построить   треугольник   А₁В₁С₁   так,   чтобы   _АВС = _А1В1С1    и   А₁

Теорема 4. Сумма углов любого треугольника не больше 2d.

□ Теорему докажем  методом от противного. Пусть существует треугольник ABC, такой, что _АВС = 2d + , где > 0. Применяя предыдущую лемму к треугольнику ABC n раз, построим треугольник АпВпСп, удовлетворяющий условиям _АпВпСп = АВС и А_n А.  Выберем п так, чтобы 1/2ⁿ   А< .   Тогда А_п < . Так как А_n + В_n + С_п = 2d + , то В_п + С_п> 2d.

С другой стороны, легко  доказать, что В_п + С_п < 2d. В самом деле, если - мера внешнего угла треугольника А_пВ_пС_п, смежного с углом В_п, то > С_п, а по теореме о смежных углах  + В_п = 2d, поэтому В_п + C_n <С 2d. Мы пришли к противоречию, следовательно, не существует такого треугольника ABC, сумма углов которого больше   чем 2d. Чтд.

Итак, сумма углов любого треугольника не больше 2d. Но не может ли получиться так, что у одних треугольников эта сумма меньше 2d, а у других равна 2d? Отрицательный ответ на этот вопрос дает вторая теорема Саккери — Лежандра.

Теорема 5. Если в одном треугольнике сумма углов равна 2d, то сумма углов любого треугольника равна 2d.  \

Итак  получаем еще  одно предположение, эквивалентное V постулату: существует хотя бы один треугольник, сумма углов которого равна 2d.

IV. Система аксиом  Гильберта.

По Гильберту, предполагается, что даны три различных множества. Элементы первого множества называются точками, элементы второго множества — прямыми, а элементы третьего множества — плоскостями (основные объекты). Точки, прямые и плоскости обозначаются соответственно буквами  А, В, С, ...; а, b, с, ...; , , , ... . Элементы этих множеств находятся в определенных отношениях, которые называются: «принадлежность», «лежать между» и «конгруэнтность» (основные отношения). Природа основных понятий, т. е. основных объектов и основных отношений, может быть какой угодно, но они должны удовлетворять определенным аксиомам, которые я перечислю ниже.

Список Гильберта содержит 20 аксиом, которые разделяются на пять групп.

 Группа 1. Аксиомы   принадлежности.

Аксиомы этой группы определяют свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, выражаемые словом «принадлежит»   (или  «лежит ,на», «проходит через»).  Группа  I содержит следующие восемь аксиом.

1₁ Каковы бы ни были две точки А, В, существует прямая а, проходящая через эти точки.

2₂. Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.

1₃.  На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

1₄.  Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной 
прямой, существует плоскость а, проходящая через эти точки. На 
каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.

1_5. Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.

1₆. Если две точки А и Б прямой а лежат в плоскости а, то каждая точка прямой а лежит в плоскости а.

В этом случае говорят, что прямая а лежит в плоскости а или плоскость а проходит через прямую а.

1₇.  Если две плоскости а и b имеют общую точку А, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку В.

1₈. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Исходя из этих аксиом, можно доказать ряд теорем, большинство  из которых в школьном курсе геометрии  не доказываются, так как они наглядно очевидны. Перечислю лишь некоторые  из этих теорем.

1^о. Две прямые имеют не более одной общей точки.

2°. Если две плоскости  имеют общую точку, то они  имеют общую прямую, на которой  лежат все общие точки этих  двух плоскостей.

3°. Через прямую  и не лежащую на ней точку,  так же как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость.

4°. На каждой плоскости  существуют три точки, не лежащие  на одной прямой.

 Группа II.  Аксиомы порядка.

Предполагается, что точка  на прямой может находиться в известном отношении к двум другим точкам той же прямой; это отношение выражается словами «лежать между». Если точка В лежит между точкой А и точкой С, то мы запишем так: А — В — С. При этом должны быть удовлетворены следующие четыре аксиомы.

II₁.  Если А — В — С, то А, В, С — различные точки одной прямой и С - В - А.

    II₂. Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна точка С на прямой АВ, такая, что А — В — С.

II₃. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

По Гильберту, отрезком  АВ (или В А) называется пара точек А и В. Точки А и В называются концами отрезка, а любая точка, лежащая между ними,— внутренней точкой отрезка или просто точкой отрезка.

    II_4. (аксиома Паша). Пусть А, В, С — три точки, не лежащие на одной прямой, а а — прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если прямая а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также через точку отрезка АС или ВС.

С помощью аксиом групп I и II доказываются многие факты геометрии и вводится ряд основных определений. Прежде всего можно доказать, что между любыми точками существует по крайней мере одна точка, а отсюда легко прийти к выводу, что любой отрезок (а следовательно, и любая прямая) содержит бесконечное множество точек.

 Группа III.  Аксиомы   конгруэнтности.

Предполагается, что отрезок (угол) находится в известном отношении к какому-то отрезку (углу). Это отношение выражается словом «конгруэнтен» или «равен» и обозначается символом « = ». Должны быть удовлетворены следующие пять аксиом.

III₁ Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из точки А', то существует точка В', принадлежащая данному лучу, такая, что АВ = А'В'.

Можно доказать,  что  точка  В'  на данном  луче  единственная.

III₂. Если А'В' = АВ и А"В" = АВ, то А'В' = А" В".

III₃. Пусть А — В — С, А’ - В' — С, АВ = А'В' и ВС = В'С’. Тогда АС = А'С’.

III₄. Пусть даны hk и флаг (О', h', '). Тогда в полуплоскости ' существует один и только один луч к', исходящий из точки О',  такой, что hk = h'k'.

Каждый угол конгруэнтен  самому себе.

III₅. Пусть А, В, С — три точки, не лежащие на одной прямой, и А', В', С’ — тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом АВ = А'В', АС = А'С’, BAC = В'А'С’, то АВС = А'В'С’.

Вот некоторые  теоремы, которые следуют из аксиом конгруэнтности.

1°. Отношение конгруэнтности  отрезков является отношением эквивалентности на множестве отрезков.

2°. В равнобедренном  треугольнике углы при основании  равны.

3°. Первый, второй и  третий признаки равенства треугольников.

4^о . Отношение конгруэнтности углов является отношением эквивалентности на множестве углов.

5°. Внешний угол  треугольника больше каждого  угла треугольника, несмежного с ним.

6°. В каждом треугольнике  против большей стороны лежит  больший угол и обратно: против большего угла лежит  большая сторона.

7°. Любой отрезок  имеет одну и только одну  середину.

8°. Любой угол имеет  одну и только одну биссектрису.

Группа IV.  Аксиомы непрерывности.

IV₁ (аксиома Архимеда). Пусть АВ и CD — какие-нибудь отрезки. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек А₁, А₂,  ..., А_п, таких, что выполняются условия: 

а)   А— А₁ —- А_2, А₁ — А₂ — А₃,     ...,    А_n-2 — A_n-1— А_п

     б)    АА₁= А₁А₂ = ...= = А_п-1А_п = CD;

в) А — В — А_п.

IV₂ (аксиома Кантора). Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрезков A₁B₁;. А₂ В₂, ..., из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего и, кроме того, для любого отрезка CD найдется натуральное число n, такое, что А_пВ_п < CD. Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.

Ясно, что  такая точка М единственная. В самом деле, если предположить, что точка N, отличная от точки М, также принадлежит каждому из отрезков данной последовательности, то получим А_пВ_п MN при любом п, что противоречит аксиоме.

К важнейшим следствиям из аксиом групп I—IV относится теория измерения отрезков и углов.

Для обоснования евклидовой теории параллельных Гильберт к аксиомам групп I—IV добавляет еще одну аксиому параллельных прямых.