Геометрия Лобачевского и ее модели

Данная тема интересна по нескольким причинам: теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир, это интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии, она дает материал для размышлений – в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением. Ситуация с геометрией Лобачевского и геометрией Евклида во многом похожа на ситуацию с Теорией относительности Эйнштейна и классической физикой. Геометрия Лобачевского и ОТП Эйнштейна это прогрессивные взаимосвязанные теории, выполняющиеся на огромных величинах и расстояниях, и остающимися верными на приближениях к нулю. В пространственной модели ОТП используется не обычная евклидовая плоскость, а искривленное пространство, на котором верна теория Лобачевского.

I. Введение……………………………………………………….…………………3
II. Н.И.Лобачевский и его геометрия……………………………………….…… 6
III. Пятый Постулат Евклида…………………………………………….………..9
IV. Система аксиом Гильберта………………………………………….……….12
Группа 1. Аксиомы принадлежности…………………………………….12
Группа 2. Аксиомы порядка………………………………………………13
Группа 3. Аксиомы конгруэнтности……………………………………...14
Группа 4. Аксиомы непрерывности………………………………………15
Группа 5. Аксиома параллельности………………………………………16
V. Аксиома Лобачевского . параллельные прямые по Лобачевскому …….....17
VI. Теорема о существовании параллельных прямых……………………...….19
VII. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского……...…24
VIII. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского…....26
IX. Три модели геометрии Лобачевского……………………………………….31
1) Модель Пуанкре……………………………………………………...…31
2) Модель Клейна………………………………………………………….32
3) Интерпритация Бельтрами………………………………...……...……34
X. Практическое применение геометрии Лобачевского………………...……..35
1. Теорема Пифагора…………………………………………………..……..35
2. Замечание к теореме Пифагора……………………………………...……36
3. Площадь треугольника…………………………………...…….…………37
4. Длина окружности и площадь круга………………………....…………..38
XI. Вывод………………………………………………………………………….38
XII. Список литературы..................................................................................…...40