Факультативный курс «Параметры в геометрии» для учащихся восьмых классов общеобразовательной школы.

ED=MD=18, из равенства по гипотенузе и

катету треугольников DOE и DOM.

 KD=MD-МК=18-8=10,

По теореме Пифагора для треугольника СКD:

СК= r=12

AB=BN+AМ (также как СD=NC+MD) 

BN+AМ+AB=60(так как 112-8-8-18-18=60),

   Тогда AB=30.

По теореме Пифагора для треугольника АВL:

AL=

1.P=AB+BN+NC+CD+DM+ML+AL=

=30+BN+8+26+18+ML+18=112

ML=BN=6, BC=8+6=14, AD=18+6+18=42.

 

2. P=AB+BN+NC+CD+DM+ML-AL=30+BN+8+26+18+ML-18=112

       ML=BN=24, BC=24+8=32, AD=24-18+18=24.

 

Ответ: 14 и 42 или 24 и 32.

 

Домашняя работа:

 

1. Две стороны треугольника  равны 25см и 30см. Найти третью  сторону, если высота, проведённая  к ней равна 24см.

РЕШЕНИЕ:

АВ=30см, ВС=25см, ВН=24см.

Треугольники АВН и  ВСН – прямоугольные.

По теореме Пифагора в  АВН:

АН²=900-576=324

АН=18(см)

По теореме Пифагора в  ВСН:

СН²=625-576=49

СН=7(см).

Поскольку не сказано, остроугольный  или тупоугольный треугольник, то можно  рассмотреть 2 случая:

1. остроугольный:

АС=АН+СН=18+7=25(см).

2. тупоугольный:

АС=АН-СН=18-7=11(см).

 

Ответ: 25см или 11см. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 занятие( окружность и т Пифагора)

 

1. Длины соседних сторон  вписанного в окружность четырехугольника отличаются на 1. Длина наименьшей из них так же равна I. Найдите радиус окружности.

решение:

1) ВС=1, тогда АВ=ВС=2, АD=1

АС=

ОС=

2) ВС=1, тогда АВ=ВС=2, АD=3

к-радиус

ВТ= , пусть ОМ=а

По теореме Пифагора из тр-ка АОМ

К=

Из тр-ка ОРС:

К=

2.25=0.25+3-2 а

а= , к=

 

ответ:

 

 

 2. Дан отрезок длины 20. Три окружности с радиусами 4 имеют центры в концах отрезка или в его середине. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.

 

 

 

 

1. решение:

к-искомый радиус.

ОО₁О₂-равнобедренный,

 с боковыми сторонами,  равными (к-4),

 тогда высота ОА  является 

также и медианой.

По теореме Пифагора:

Из  АОО₂

ОА²=(К-4)²-25

Из  АОО₃

ОА²=(К+4)²-225

-8К-25=8К-225, 16К=200, К=12.5

 

2. пусть к- искомый радиус, ОО₂=а, тогда

к=4+а,

по теореме Пифагора для треугольника ОО₂О₃

а²=((а+4)+4)²-100

16а=36,

а=2.25,

к=6.25.

  Ответ: 6,25 или 12,5.

 

Домашняя работа:

 

 

1. Найти высоту равнобедренного треугольника с основанием а и радиусом описанной окружности R.

 

Решение.

Поскольку вершина, противолежащая основанию,

 может лежать на  одной из двух дуг описанной  

окружности (т.е. в разных полуплоскостях

относительно прямой, содержащей основание

треугольника), то задача будет иметь

два различных решения:

1) Если угол, противолежащий основанию, острый ( В), то расстояние от центра окружности до основания ОМ=Н—R, где Н — высота ВМ, проведенная к основанию. Тогда по теореме Пифагора для треугольника АОМ: АО²=R²=( )²+(H-R)², откуда получаем квадратное   уравнение относительно H: H²-2HR+ =0. Корни этого уравнения числа Н_1,2=R± .

Если же угол, противолежащий основанию, тупой( Р), то расстояние от центра окружности до основания

равно ОМ=R-Н, а следовательно, R² = ( )²+(R-H)²

что приведет к тому же самому квадратному уравнению. Таким образом, квадратное уравнение само предусмотрело два различных решения этой задачи.

Ответ: R± .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Задача Дидоны.(на примере прямоугольников).

(для  учащихся по учебнику Погорелова А.В.)

На последнем занятии  посмотрим, какой все-таки участок  приобрела Дидона. Легенда состояла в следующем:

В IX в. до н.э. финикийская  царевна Дидона, спасаясь от преследований  своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище, ей приглянулось одно место на побережье Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она участок совсем небольшой — «столько, сколько можно окружить бычьей шкурой». Дидоне удалось уговорить Ярба, и сделка состоялась. Тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость и город Карфаген.

Задачу по отысканию среди всех замкнутых кривых с данным периметром той, которая охватывает максимальную площадь, называют задачей Дидоны.

Задача Дидоны формулируется в таком виде: «у какой фигуры Р, при заданном периметре, площадь будет наибольшей?»

Допустим, что Дидона получила веревку, длиной р м.

Ей предложили на выбор  несколько участков земли прямоугольной  формы.

 

 

 

 

 

 

Это все участки прямоугольной  формы с периметром р. Какой из них будет иметь наибольшую площадь? 

Для начала, допустим, что  верёвка получилась длиной 100м, тогда

Если одна из сторон – х, То другая- 50-х.

Подсчитав площадь, получим:

Х(50-х) = 50х-х2 = 625-(х2-50х+625) = 625-(25-х)2

Разность будет наибольшей, если (25-х)2=0, т.е х=25, т.е если четырехугольник- квадрат.

Теперь рассмотрим общий  случай, когда периметр р.

Если одна из сторон – х, То другая- -х.

Подсчитав площадь, получим:

Х( -х) = х-х2 = ( )²-(х²- х+( )²) = ( )²-( -х)2

Разность будет наибольшей, если ( -х)²=0, т.е х= , т.е если четырехугольник - квадрат.

Таким образом получается, что из всех прямоугольников с  одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

 

 

 

 

 

2. Задача Дидоны.(на примере параллелограммов).

(для  учащихся по учебнику Атанасяна  Л.С. и др.)

На последнем занятии  посмотрим, какой все-таки участок  приобрела Дидона. Легенда состояла в следующем:

В IX в. до н.э. финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище, ей приглянулось одно место на побережье Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она участок совсем небольшой — «столько, сколько можно окружить бычьей шкурой». Дидоне удалось уговорить Ярба, и сделка состоялась. Тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость и город Карфаген.

Задачу по отысканию среди всех замкнутых кривых с данным периметром той, которая охватывает максимальную площадь, называют задачей Дидоны.

Задача Дидоны формулируется в таком виде: «у какой фигуры Р, при заданном периметре, площадь будет наибольшей?»

Рассмотрим данную задачу на примере параллелограммов.

 

Рассмотрим различные виды параллелограммов с равными длинами сторон.

 

 

 

 

 

Поскольку площадь параллелограмма  равна а*b*sin a^b, то наибольшая площадь получается, если sin a^b=0, то есть угол прямой. То есть наибольшую площадь имеет прямоугольник.

Рассмотрим различные виды прямоугольников:

 

 

 

 

 

 

 

 

Это все участки прямоугольной  формы с периметром р. Какой из них будет иметь наибольшую площадь? 

Для начала, допустим, что  верёвка получилась длиной 100м, тогда

Если одна из сторон –  х, То другая- 50-х.

Подсчитав площадь, получим:

Х(50-х) = 50х-х2 = 625-(х2-50х+625) = 625-(25-х)2

Разность будет наибольшей, если (25-х)2=0, т.е х=25, т.е если четырехугольник- квадрат.

Теперь рассмотрим общий  случай, когда периметр р.

Если одна из сторон –  х, То другая- -х.

Подсчитав площадь, получим:

Х( -х) = х-х2 = ( )²-(х²- х+( )²) = ( )²-( -х)2

Разность будет наибольшей, если ( -х)²=0, т.е х= , т.е если четырехугольник - квадрат.

Таким образом получается, что из всех параллелограммов с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет  квадрат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

• Начинать применять  задачи с геометрическими параметрами можно уже с самого раннего периода изучения геометрии.

• Применение подобных задач  не позволяет ученикам «закостенеть» в своих умениях и навыках применения геометрических знаний.

• Задачи с геометрическими  параметрами носят творческий характер и не могут быть включены в обязательный минимум; их необходимо отнести к задачам «продвинутого» уровня.

Чаще  всего ученику по-настоящему подумать на уроке просто некогда. Уроки идут по схеме: «разогрев» учащихся, проверка домашнего задания, повторение пройденного на прошлых уроках, объяснение нового материала, первичное закрепление, применение полученных знаний при решении задач с привлечением ранее изученного материала. Ограниченность учителя временными рамками урока (нужно успеть сделать всё запланированное) и временем изучения темы (нужно помнить, что опоздание на этом уроке повлечет дальнейшее отставание), нацеленность учителя и ученика на достижение ближайших целей (успешно написать самостоятельную или контрольную работу, сдать зачет) — всё это никак не способствует появлению на уроке задач творческого или трудного в техническом плане характера. Тем не менее, именно такие задачи дают возможность ученику глубже понять изучаемый материал, увидеть «изюминку» в решении геометрических задач.

         На факультативных занятиях учитель имеет возможность не придерживаться тематики предусмотренных разделов и проявить творчество, составив свою программу проведения факультативных занятий.

  Поэтому на сегодняшний  день исследования, связанные с  разработкой содержания и методикой проведения факультативов, являются актуальными.

Представленная дипломная  работа предоставляет практический курс по решению задач с геометрическими параметрами. Данный факультатив рассчитан на учащихся общеобразовательных школ, в которых геометрия преподаётся по учебникам Погорелова А. В. и Атанасяна Л. С.

 Во второй части дипломной работы содержатся весь необходимый теоретический материал, план факультатива «параметры в геометрии» и конспекты конкретных занятий. Факультатив рассчитан на восемь занятий по 2 часа. Задачи подобраны по темам (знакомство с параметрами в геометрии, решение простейших задач; решение задач на построение в теме треугольники; решение задач на тему окружность; решение задач в теме четырёхугольники (2 занятия); решение задач в теме окружности и т Пифагора (2 занятия); решение задачи Дидоны), и соотносятся с обязательным курсом геометрии восьмого класса, то есть учителю не придется заранее рассказывать учащимся факультатива сведения из геометрии восьмого класса. Задачи в каждой теме  располагаются от простого к сложному. На завершающем занятии курса решается задача Дидоны, которая упоминалась на первом уроке.

Изучение факультативного курса «параметры в геометрии» способствует развитию пространственного, логического и творческого мышления и математических способностей.

Данный курс также  рассчитан на воспитание устойчивого  интереса к геометрии, так как  решаемые в нем задачи отличаются от задач, решаемых в ходе изучения геометрии по учебникам Погорелова А. В. и Атанасяна Л. С.

В ходе решения таких задач больше необходимости не только проявлять специфические знания по геометрии, но и умение строить правильные чертежи, видеть, как по-разному могут располагаться фигуры друг относительно друга, и не останавливаться на одном варианте, так как могут быть и другие.

Таким образом, решение  задач с геометрическими параметрами  ставит перед учениками проблему рассмотрения различных последствий  при рассмотрении разных вариантов, что является актуальной проблемой  и в нашей повседневной жизни.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

библиография

 

1. Феоктистов И.Е. «Задачи с параметрами в геометрии» «Математика в школе» 2002. №5 –с 63-67.

2. Ястребинецкий К.А. «Задачи с параметрами»

3. Горнштейн, Полонский «Задачи с параметрами»

4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9. : учебник для общеобразовательных учебных заведений – 6-е издание. Москва.        Издательство «Дрофа» 2002г.

5. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. 9-е издание. Москва «Просвещение», 1999г.